Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 173
Соотношение (13.27а) подлежит проверке при любом значении пе-
ременной x ∈ R:
∆
h
(f + g) (x) =
1
h
((f + g) (x + h) − (f + g) (x)) =
=
1
h
((f(x + h) + g(x + h)) − (f(x) + g(x))) =
=
1
h
((f(x + h) − f(x)) +
1
h
(g(x + h) − g(x)) =
= ∆
h
(f) (x) + ∆
h
(g) (x) = (∆
h
(f) + ∆
h
(g)) (x).
Потрудитесь проверить второе из требуемых соотношений:
∆
h
(λf) = λ∆
h
(f). (13.27b)
Разностная производная константы, как и обычная, равна нулю.
Для многочлена степени k > 1 разностная производная является
многочленом степени k − 1.
В силу линейности оператора ∆
h
, последнее утверждение доста-
точно проверить на одночленах f(x) = x
k
. С помощью бинома Нью-
тона получается:
∆
h
(x
k
) =
1
h
((x + h)
k
− x
k
) =
=
1
h
(x
k
+ C
1
k
hx
k− 1
+ ... + h
k
− x
k
) =
1
h
(C
1
k
hx
k− 1
+ ... + h
k
).
Значит, оператор разностного дифференцирования можно рассма-
тривать как л.э.
∆
h
: R
n
[x] −→ R
n
[x]; f(x) 7→ ∆
h
f(x); f(x) ∈ R
n
[x]. (13.28)
Важнейшим при изучении разностных производных является слу-
чай единичного параметра (h = 1), оператор ∆
1
переобозначается в
простое ∆ и формула (13.25) принимает особенно простой вид:
∆f(x) = f(x + 1) − f(x). (13.29)
Выражение (13.29) представляет из себя не что иное, как прира-
щение функции f(x), отвечающее приращению аргумента ∆x = 1.
§ 13     Преобразование матрицы линейного отображения                     173

  Соотношение (13.27а) подлежит проверке при любом значении пе-
ременной x ∈ R:

                      1
  ∆h (f + g) (x) =      ((f + g) (x + h) − (f + g) (x)) =
                      h
             1
         =     ((f (x + h) + g(x + h)) − (f (x) + g(x))) =
             h
                     1                       1
                 = ((f (x + h) − f (x)) + (g(x + h) − g(x)) =
                     h                       h
                         = ∆h (f ) (x) + ∆h (g) (x) = (∆h (f ) + ∆h (g)) (x).

   Потрудитесь проверить второе из требуемых соотношений:

                              ∆h (λf ) = λ∆h (f ).                    (13.27b)

  Разностная производная константы, как и обычная, равна нулю.
Для многочлена степени k > 1 разностная производная является
многочленом степени k − 1.
  В силу линейности оператора ∆h , последнее утверждение доста-
точно проверить на одночленах f (x) = xk . С помощью бинома Нью-
тона получается:

               1
  ∆h (xk ) =     ((x + h)k − xk ) =
               h
             1 k                                 1
         =     (x + Ck1 hxk−1 + ... + hk − xk ) = (Ck1 hxk−1 + ... + hk ).
             h                                   h

  Значит, оператор разностного дифференцирования можно рассма-
тривать как л.э.

       ∆h : Rn [x] −→ Rn [x]; f (x) 7→ ∆h f (x); f (x) ∈ Rn [x].       (13.28)

  Важнейшим при изучении разностных производных является слу-
чай единичного параметра (h = 1), оператор ∆1 переобозначается в
простое ∆ и формула (13.25) принимает особенно простой вид:

                          ∆f (x) = f (x + 1) − f (x).                  (13.29)

  Выражение (13.29) представляет из себя не что иное, как прира-
щение функции f (x), отвечающее приращению аргумента ∆x = 1.

Страницы