Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 171
Очевидно и то, что подпространство R
n,λ
0
[x] изоморфно подпро-
странству R
n
[x], причем изоморфизм задается (обратимым) линей-
ным оператором умножения на (нигде не обращающуюся в нуль)
функцию e
λ
0
x
.
Следовательно,
dim(R
n,λ
0
[x]) = dim(R
n
[x]) = n + 1
и в качестве базиса в этом подпространстве можно выбрать систему
функций
C
n,λ
0
= [ e
λ
0
x
, xe
λ
0
x
,
x
2
2!
e
λ
0
x
, ... ,
x
n
n!
e
λ
0
x
]. (13.20a)
(Здесь уместно проинформировать читателей о специальном тер-
мине квазимногочлены. Так называются функции, являющиеся сум-
мами произведений многочленов и экспонент. С квазимногочленами
вы обязательно встретитесь при изучении линейных дифференци-
альных уравнений. Введенное выше подпространство (13.20а) со-
стоит из квазимногочленов простейшего вида: у них у всех один и
тот же показательный множитель.)
Применим теперь к базисным элементам (функциям)
c
k
=
x
k
k!
e
λ
0
x
(k = 0, 1, ..., n) (13.21a)
оператор дифференцирования ϕ =
0
.
Получим соотношения
ϕ(c
0
) = (e
λ
0
x
)
0
= λ
0
e
λ
0
x
= λ
0
c
0
;
ϕ(c
k
) = (
x
k
k!
e
λ
0
x
)
0
= λ
0
x
k
k!
e
λ
0
x
+
x
k−1
(k − 1)!
e
λ
0
x
=
= λ
0
c
k
+ c
k− 1
(k = 1, ..., n), (13.22a)
в силу которых эндоморфизм ϕ =
0
имеет в базисе (13.20а) матри-
цу — жорданов ящик J
n+1
(λ
0
) .
§ 13     Преобразование матрицы линейного отображения                         171

  Очевидно и то, что подпространство Rn,λ0 [x] изоморфно подпро-
странству Rn [x], причем изоморфизм задается (обратимым) линей-
ным оператором умножения на (нигде не обращающуюся в нуль)
функцию eλ0 x .
  Следовательно,

                    dim(Rn,λ0 [x]) = dim(Rn [x]) = n + 1

и в качестве базиса в этом подпространстве можно выбрать систему
функций

                        λ0 x      λ0 x     x2 λ0 x      xn λ0 x
           Cn,λ0 = [ e         , xe      ,    e , ... ,    e    ].        (13.20a)
                                           2!           n!

   (Здесь уместно проинформировать читателей о специальном тер-
мине квазимногочлены. Так называются функции, являющиеся сум-
мами произведений многочленов и экспонент. С квазимногочленами
вы обязательно встретитесь при изучении линейных дифференци-
альных уравнений. Введенное выше подпространство (13.20а) со-
стоит из квазимногочленов простейшего вида: у них у всех один и
тот же показательный множитель.)
   Применим теперь к базисным элементам (функциям)

                                  xk λ0 x
                         ck =        e    (k = 0, 1, ..., n)              (13.21a)
                                  k!

оператор дифференцирования ϕ = 0 .
  Получим соотношения

  ϕ(c0 ) = (eλ0 x )0 = λ0 eλ0 x = λ0 c0 ;
            xk λ0 x 0 xk λ0 x    xk−1 λ0 x
  ϕ(ck ) = ( e ) = λ0 e       +          e   =
            k!        k!        (k − 1)!
                             = λ0 ck + ck−1 (k = 1, ..., n),              (13.22a)

                                                0
в силу которых эндоморфизм ϕ =                      имеет в базисе (13.20а) матри-
цу — жорданов ящик Jn+1 (λ0 ) .

Страницы