Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 169
и матрица эндоморфизма (13.18) в новом базисе приобретет замеча-
тельный вид:
A
0
(n+1)×(n+1)
=
0 1 0 0 ... 0 0
0 0 1 0 ... 0 0
0 0 0 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1 0
0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 0 ... 0 0
. (13.19
0
)
Квадратные матрицы вида (13.19
0
) играют совершенно выдающу-
юся роль в линейной алгебре. Они именуются нильпотентными
жордановыми ящиками (или клетками, или блоками). Все элемен-
ты такого ящика равны нулю, за исключением тех, которые нахо-
дятся на первой "наддиагонали" и равняются единице.
Стандартным обозначением нильпотентного жорданова ящика
(н.ж.я.) является J
n
(0); мы сделаем это обозначение более броса-
ющимся в глаза с помощью выделения боксами; ящик будет "выгля-
деть как ящик": J
n
(0) . Поясним, что индексом служит порядок
матрицы, а нуль в скобке указывает на то, что по главной диагонали
стоят нули. Теперь мы понимаем, что в формуле (13.19
0
) фигурирует
ящик J
n+1
(0) .
Просто жордановы ящики (ж.я.) обозначаются J
n
(λ
0
) ; по диа-
гонали у них должен стоять скаляр λ
0
∈ P , указываемый в обозна-
чении (в скобках).
Почему так важны ж.я. и откуда они возникают, мы разберемся
в следующей главе. А сейчас разъясним термин "нильпотентная"
(применительно к матрице) или "нильпотентный" (применительно
к линейному оператору). Возьмите ящик, скажем, пятого порядка,
J
5
(0) и возводите его в квадрат, куб, четвертую степень; пятая
степень окажется нулевой.
Другой вариант: вычислим пятую производную от многочлена,
степень которого не выше четырех (другими словами, применим к
такому многочлену пятую степень оператора дифференцирования).
Ясно, что результат будет нулевым. Это означает, что на R
4
[x] пятая
степень оператора ϕ =
0
есть нулевой оператор.
Кстати, и несколько более сложная матрица (13.19) также являет-
ся нильпотентной. Этот факт можно проверить непосредственным
§ 13   Преобразование матрицы линейного отображения             169

и матрица эндоморфизма (13.18) в    новом базисе приобретет замеча-
тельный вид:
                                                       
                       0 1 0         0    ... 0      0
                    0 0 1           0    ... 0      0
                                                       
                    0 0 0           1    ... 0      0
                                                       
             0      0 0 0           0    ... 0      0
           A       =                                   .   (13.190 )
       (n+1)×(n+1)   ... ... ...   ...   ... ...   ... 
                                                       
                    0 0 0           0    ... 1      0
                                                       
                       0 0 0         0    ... 0      1
                       0 0 0         0    ... 0      0
   Квадратные матрицы вида (13.190 ) играют совершенно выдающу-
юся роль в линейной алгебре. Они именуются нильпотентными
жордановыми ящиками (или клетками, или блоками). Все элемен-
ты такого ящика равны нулю, за исключением тех, которые нахо-
дятся на первой "наддиагонали" и равняются единице.
   Стандартным обозначением нильпотентного жорданова ящика
(н.ж.я.) является Jn (0); мы сделаем это обозначение более броса-
ющимся в глаза с помощью выделения боксами; ящик будет "выгля-
деть как ящик": Jn (0) . Поясним, что индексом служит порядок
матрицы, а нуль в скобке указывает на то, что по главной диагонали
стоят нули. Теперь мы понимаем, что в формуле (13.190 ) фигурирует
ящик Jn+1 (0) .
   Просто жордановы ящики (ж.я.) обозначаются Jn (λ0 ) ; по диа-
гонали у них должен стоять скаляр λ0 ∈ P , указываемый в обозна-
чении (в скобках).
   Почему так важны ж.я. и откуда они возникают, мы разберемся
в следующей главе. А сейчас разъясним термин "нильпотентная"
(применительно к матрице) или "нильпотентный" (применительно
к линейному оператору). Возьмите ящик, скажем, пятого порядка,
 J5 (0) и возводите его в квадрат, куб, четвертую степень; пятая
степень окажется нулевой.
   Другой вариант: вычислим пятую производную от многочлена,
степень которого не выше четырех (другими словами, применим к
такому многочлену пятую степень оператора дифференцирования).
Ясно, что результат будет нулевым. Это означает, что на R4 [x] пятая
степень оператора ϕ =0 есть нулевой оператор.
   Кстати, и несколько более сложная матрица (13.19) также являет-
ся нильпотентной. Этот факт можно проверить непосредственным

Страницы