Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 167
В общем случае перстановке σ ∈ S
n
соответствует (n×n)-матрица
T
σ
, однозначно определяемая равенствами T
σ
·e
j
= e
σ(j)
(j = 1, ... , n).
Определитель матрицы перестановочного перехода определяется
формулой
det(T
σ
) = sgn(σ).
Попробуйте самостоятельно обосновать это утверждение, исходя
из свойств определителей; см. [A
1
, п. 24.2].
Отображение σ 7→ T
σ
из группы перестановок S
n
в группу обрати-
мых матриц GL(n, P ) является гомоморфизмом групп. (Это — еще
одно простое упражнение; понятие гомоморфизма вводилось в [A
1
];
см. замечание 15.1.)
13.7. Примеры пересчета матриц л.э.
Пример 13.3. Решите самостоятельно следующую совершенно
стандартную задачу, аналогичную рассмотренной в примере 13.1.
Для пересчета матрицы л.э. при замене базиса должна использо-
ваться формула (13.14): A
0
= T
−1
· A · T.
З а д а ч а. В некотором базисе B = [ b
1
, b
2
, b
3
] трехмерного линей-
ного пространства V (над полем R) л.э. ϕ : V → V имеет матрицу
A =
−2 −1 −2
−3 −6 −10
2 3 5
.
Вычислить матрицу A
0
этого эндоморфизма в новом базисе B
0
,
который связан со старым базисом B формулами:
b
0
1
= −2b
2
+b
3
;
b
0
2
= −b
1
− b
2
+b
3
;
b
0
3
= 2b
1
− b
2
.
О т в е т (см. обозначения в следующем примере): A
0
= J
3
(−1) .
Пример 13.4. Вернемся к исследованию оператора дифферен-
цирования многочленов (см. пример 12.1). Но на этот раз будем
рассматривать его как л.э. пространства V = R
n
[x]:
ϕ =
0
: V −→ V ; f(x) 7→ f
0
(x); f(x) ∈ V. (13.18)
§ 13    Преобразование матрицы линейного отображения                 167

   В общем случае перстановке σ ∈ Sn соответствует (n×n)-матрица
Tσ , однозначно определяемая равенствами Tσ ·ej = eσ(j) (j = 1, ... , n).
   Определитель матрицы перестановочного перехода определяется
формулой
                         det(Tσ ) = sgn(σ).

   Попробуйте самостоятельно обосновать это утверждение, исходя
из свойств определителей; см. [A1 , п. 24.2].
   Отображение σ 7→ Tσ из группы перестановок Sn в группу обрати-
мых матриц GL(n, P ) является гомоморфизмом групп. (Это — еще
одно простое упражнение; понятие гомоморфизма вводилось в [A1 ];
см. замечание 15.1.)

   13.7. Примеры пересчета матриц л.э.
   Пример 13.3. Решите самостоятельно следующую совершенно
стандартную задачу, аналогичную рассмотренной в примере 13.1.
Для пересчета матрицы л.э. при замене базиса должна использо-
ваться формула (13.14): A0 = T −1 · A · T.
   З а д а ч а. В некотором базисе B = [ b1 , b2 , b3 ] трехмерного линей-
ного пространства V (над полем R) л.э. ϕ : V → V имеет матрицу
                                           
                             −2      −1 −2
                           
                        A = −3       −6 −10  .
                              2      3   5

  Вычислить матрицу A0 этого эндоморфизма в новом базисе B0 ,
который связан со старым базисом B формулами:
                       0
                       b1   =         −2b2   +b3 ;
                        b0   = −b1     − b2   +b3 ;
                       20
                        b3   = 2b1     − b2       .

   О т в е т (см. обозначения в следующем примере): A0 = J3 (−1) .

  Пример 13.4. Вернемся к исследованию оператора дифферен-
цирования многочленов (см. пример 12.1). Но на этот раз будем
рассматривать его как л.э. пространства V = Rn [x]:

               ϕ = 0 : V −→ V ; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ V.      (13.18)

Страницы