Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 175
Предложение 13.3.Подобные матрицы имеют одинаковые опре-
делители:
[ A
◦
∼
◦
B ] ⇒ [ det(A) = det(B) ]. (13.32)
Доказательство предложения немедленно следует из мультипли-
кативного свойства определителя (см. п. 27.2 в [A
1
]) и из формулы
для определителя обратной матрицы (см. там же п. 28.2):
det(B) = det(T
−1
· A · T ) = (det(T ))
−1
· det(A) · det(T ) = det(A). ¤
Введем в рассмотрение еще одну числовую характеристику для
квадратных матриц.
Определение 13.3. Следом квадратной матрицы A = (a
ij
)
n×n
называется сумма ее диагональных элементов. Используется (про-
исходящее от английского ’trace’) обозначение:
tr(A) =
n
X
i=1
a
ii
. (13.33)
След, очевидно, является линейной формой (см. замечание 12.4)
на линейном пространстве L(n, P ) квадратных (n × n)-матриц:
tr : L(n, P ) −→ P ; A 7→ tr(A); A ∈ L(n, P ). (13.34)
В следующем предложении приводятся два основных свойства
функции (13.34).
Предложение 13.4. 1. Для любых матриц A, B ∈ L(n, P ) спра-
ведлива формула
tr(A · B) = tr(B · A). (13.35)
2. Подобные матрицы имеют одинаковые следы:
[ A
◦
∼
◦
B ] ⇒ [ tr(A) = tr(B) ]. (13.36)
Доказательство. 1. Первое утверждение доказывается следую-
щей простой выкладкой:
tr(A · B) =
n
X
i=1
[A · B]
ii
=
n
X
i=1
n
X
j=1
a
ij
b
ji
=
=
n
X
j=1
Ã
n
X
i=1
b
ji
a
ij
!
=
n
X
j=1
[B · A]
jj
= tr(B · A).
§ 13    Преобразование матрицы линейного отображения                             175

  Предложение 13.3. Подобные матрицы имеют одинаковые опре-
делители:
              [A∼◦ ◦ B ] ⇒ [ det(A) = det(B) ].     (13.32)
  Доказательство предложения немедленно следует из мультипли-
кативного свойства определителя (см. п. 27.2 в [A1 ]) и из формулы
для определителя обратной матрицы (см. там же п. 28.2):
 det(B) = det(T −1 · A · T ) = (det(T ))−1 · det(A) · det(T ) = det(A). ¤

  Введем в рассмотрение еще одну числовую характеристику для
квадратных матриц.
  Определение 13.3. Следом квадратной матрицы A = (aij )n×n
называется сумма ее диагональных элементов. Используется (про-
исходящее от английского ’trace’) обозначение:
                                              n
                                              X
                              tr(A) =                 aii .                    (13.33)
                                              i=1

  След, очевидно, является линейной формой (см. замечание 12.4)
на линейном пространстве L(n, P ) квадратных (n × n)-матриц:
          tr : L(n, P ) −→ P ; A 7→ tr(A); A ∈ L(n, P ).                       (13.34)
  В следующем предложении приводятся два основных свойства
функции (13.34).
  Предложение 13.4. 1. Для любых матриц A, B ∈ L(n, P ) спра-
ведлива формула
                   tr(A · B) = tr(B · A).             (13.35)
   2. Подобные матрицы имеют одинаковые следы:
                      [A∼
                        ◦ ◦ B ] ⇒ [ tr(A) = tr(B) ].                           (13.36)


  Доказательство. 1. Первое утверждение доказывается следую-
щей простой выкладкой:
                                        
             n
             X             n
                           X X n
 tr(A · B) =   [A · B]ii =      aij bji  =
              i=1             i=1       j=1
                            n n
                                  Ã                   !     n
                            X X                             X
                        =                   bji aij       =   [B · A]jj = tr(B · A).
                            j=1       i=1                     j=1

Страницы