Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 177 стр.

§ 14   Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения     177

           § 14. Образ и ядро, ранг и дефект
                 линейного отображения

   14.1. Отображения множеств, образы и прообразы под-
множеств. Данный пункт является, можно сказать, "теоретико-
множественным отвлечением": мы напомним некоторые факты и
обозначения из общей теории множеств и их отображений. (В учеб-
ном плане нет такой дисциплины — "Теория множеств"; ее начала
излагаются в "пусковом" курсе "Введение в математику"; часть ма-
териала рассредоточена по курсам алгебры, анализа и др.; более
абстрактные аспекты этой науки изучаются в курсе математической
логики.)
   Рассмотрим отображение множеств f : X → Y и два подмноже-
ства: A ⊆ X и B ⊆ Y. Образом подмножества A при отображении
f называется подмножество

                     f (A) = { f (x) : x ∈ X } ⊆ Y.         (14.1)

  В случае A = X получается образ всего множества X, который
иначе называется образом отображения f и обозначается

                            Im(f ) = f (X).                 (14.2)

   По определению, отображение f сюръективно, если Im(f ) = Y.
   Прообразом подмножества B называется подмножество

                −1
                 f (B) = { x ∈ X : f (x) ∈ B } ⊆ X.         (14.3)

  Обратите внимание на расположение минус единицы над знаком
отображения (а не справа-сверху, где ставятся показатели степени).
Дело в том, что эта −1 показателем степени не является.
  Минус первая степень отображения есть не что иное, как обратное
отображение, которое существует далеко не всегда. Прообразы же
определены для любых отображений и любых подмножеств.
  В том случае, когда f −1 существует, разница теряется: прооб-
раз B при отображении f совпадает с образом B при отображе-
нии f −1 :
                           −1
                           f (B) = f −1 (B).                (14.4)