Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 14 Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения 179
Определение 14.1. Ядром линейного отображения (14.8) назы-
вается подмножество
Ker(ϕ) =
−1
ϕ (O) = { x ∈ V : ϕ(x) = 0 }. (14.9)
Предложение 14.1. Образы и прообразы линейных подпрост-
ранств при линейном отображении сами являются линейными под-
пространствами:
[ V
1
6 V ] ⇒ [ ϕ(V
1
) 6 W ]; [ W
1
6 W ] ⇒ [
−1
ϕ (W
1
) 6 V ]. (14.10)
В частности,
Im(ϕ) 6 W ; Ker(ϕ) 6 V. (14.11)
Доказательство является совсем простым упражнением. Напри-
мер, при проверке справедливости второго из утверждений (14.10)
может быть применена следующая цепочка заключений:
[ x, u ∈
−1
ϕ (W
1
) ] ⇒ [ ϕ(x), ϕ(u) ∈ W
1
] ⇒
⇒ [ ϕ(x + u) = ϕ(x) + ϕ(u) ∈ W
1
] ⇒ [ x + u ∈
−1
ϕ (W
1
) ].
Вам предлагается восстановить все подробности. ¤
Замечание 14.2. В частном случае линейного отображения ϕ :
P
n
→ P
m
арифметических линейных пространств понятия образа и
ядра фигурировали в [A
1
, § 15]. Для образа оператора ϕ использо-
валось обозначение R
ϕ
, увязанное с обозначеним образа (линейной
оболочки векторов-столбцов) соответствующей (m × n)-матрицы A:
R
ϕ
= R
A
= ha
1
, a
2
, ... , a
n
i . (14.12)
Для ядра (см. определение 15.8) также использовалось иное обо-
значение, отсылающее к матричному заданию оператора:
L
0
ϕ
= L
0
A
= { x ∈ P
n
: A · x = 0 }. (14.13)
Далее мы предполагаем, что данные линейные пространства V и
W являются конечномерными, размерностей n и m соответственно.
Тогда определены размерности образа и ядра линейного отображе-
ния (14.8).
§ 14     Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения              179

  Определение 14.1. Ядром линейного отображения (14.8) назы-
вается подмножество
                               −1
                    Ker(ϕ) = ϕ (O) = { x ∈ V : ϕ(x) = 0 }.             (14.9)


  Предложение 14.1. Образы и прообразы линейных подпрост-
ранств при линейном отображении сами являются линейными под-
пространствами:
                                                        −1
       [ V1 6 V ] ⇒ [ ϕ(V1 ) 6 W ]; [ W1 6 W ] ⇒ [ ϕ (W1 ) 6 V ].     (14.10)

   В частности,
                            Im(ϕ) 6 W ; Ker(ϕ) 6 V.                   (14.11)

  Доказательство является совсем простым упражнением. Напри-
мер, при проверке справедливости второго из утверждений (14.10)
может быть применена следующая цепочка заключений:
             −1
  [ x, u ∈ ϕ (W1 ) ] ⇒ [ ϕ(x), ϕ(u) ∈ W1 ] ⇒
                                                                 −1
                  ⇒ [ ϕ(x + u) = ϕ(x) + ϕ(u) ∈ W1 ] ⇒ [ x + u ∈ ϕ (W1 ) ].

   Вам предлагается восстановить все подробности. ¤
  Замечание 14.2. В частном случае линейного отображения ϕ :
P → P m арифметических линейных пространств понятия образа и
  n

ядра фигурировали в [A1 , § 15]. Для образа оператора ϕ использо-
валось обозначение Rϕ , увязанное с обозначеним образа (линейной
оболочки векторов-столбцов) соответствующей (m × n)-матрицы A:

                           Rϕ = RA = ha1 , a2 , ... , an i .          (14.12)

  Для ядра (см. определение 15.8) также использовалось иное обо-
значение, отсылающее к матричному заданию оператора:

                       L0ϕ = L0A = { x ∈ P n : A · x = 0 }.           (14.13)

  Далее мы предполагаем, что данные линейные пространства V и
W являются конечномерными, размерностей n и m соответственно.
Тогда определены размерности образа и ядра линейного отображе-
ния (14.8).

Страницы