Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 178 стр.

178   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

  По определению, отображение f инъективно, если для любого
                                 −1
элемента y ∈ Im(f ) его прообраз f (y) [т. е. прообраз одноэлемент-
ного подмножества B = {y} в образе] также является однооэлемент-
ным.
  Замечание 14.1.∗ Отображения взятия образа и прообраза мож-
но рассматривать на булеанах [множествах всех подмножеств; см.
обозначение (1.16)]:
                          −−  f−−−→ Y
                       2X ←−−−−
                              −−−−− 2 .
                              −1
                                                        (14.5)
                               f
  "Встречные" отображения (14.5) отнюдь не являются взаимно об-
ратными. В общем случае справедливы лишь включения:
                      −1
                       f (f (A)) ⊇ A; A ⊆ X;                 (14.6)
                        −1
                      f ( f (B)) ⊆ B; B ⊆ Y.                 (14.7)
   Чтобы убедить в этом читателей, автор предпочитает известное
восклицание древнегреческих геометров "Смотри!" и отсылку к ри-
сункам 14.1 и 14.2 в прил. 2. Если вы усмотрели причины того, что
включения (14.6) и (14.7) могут оказаться строгими, то вам легко
будет также уяснить следующие факты: (14.6) обращается в равен-
ство при дополнительном условии, что f инъективно, а (14.7) — при
условии сюръективности f.
   14.2. Образы и прообразы линейных подпространств при
линейных отображениях. Возвращаясь в область линейной ал-
гебры, рассмотрим два линейных пространства V и W (над одним и
тем же полем P ) и линейное отображение (гомоморфизм)
                             ϕ : V → W.                      (14.8)
  Для любого линейного подпространства V1 6 V определен его
образ ϕ(V1 ) при отображении ϕ, являющийся подмножеством (ниже
мы докажем, что — подпространством) в W. В частности, определен
образ линейного отображения Im(ϕ) = ϕ(V ).
  Для любого линейного подпространства W1 6 W определен его
          −1
прообраз ϕ (V1 ) при отображении ϕ, являющийся подмножеством
(фактически — подпространством) в V. Особую роль будет играть
прообраз нулевого подпространства W1 = O (состоящий из тех и
только тех векторов в V, которые под действием ϕ переходят в нуль).
Для этого прообраза вводится особый термин и обозначение.