Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 176 стр.

176   Линейные отображения конечномерных пространств                 Гл. 2

   (Не исключено, что приведенная выше цепочка преобразований
над суммами, как и многие предыдущие, аналогичные, вас не только
не убедит, но и огорчит... Тогда вам может помочь простой экспери-
мент: возьмите две квадратные матрицы, скажем, третьего порядка,
перемножьте их "так и эдак" и найдите следы для обоих произве-
дений. По ходу опыта вы наверняка заметите, что при вычислении
произведений достаточно заполнять лишь диагональные клеточки,
поскольку именно их содержимое идет в расчет при отыскании сле-
дов.)
   2. Второе утверждение предложения легко следует из первого:
                                        (13.35)
  tr(T −1 · A · T ) = tr((T −1 · A) · T ) =====
        = tr(T · (T −1 · A)) = tr((T · T −1 ) · A) = tr(E · A) = tr(A). ¤

   Теперь мы возвращаемся к линейным эндоморфизмам. Свойства
(13.32) и (13.36) обеспечивают корректность следующего определе-
ния. Пусть V — конечномерное линейное пространство, ϕ — л.э.,
действующий в этом пространстве.
  Определение 13.4. Определитель и след линейного эндомор-
физма ϕ ∈ L(V ) задаются формулами
                              det(ϕ) = det(A);                     (13.37)
                               tr(ϕ) = tr(A),                      (13.38)
где A — матрица, отвечающая ϕ в некотором базисе B простран-
ства V.
  В самом деле, хотя матрица A зависит от выбора базиса B, при
замене базиса она меняется на подобную [см. формулу (13.14)], и,
следовательно, ее определитель и след не изменяются.
  Замечание 13.6. Свойства определителя и следа для алгебры мат-
риц, установленные (или упомянутые) выше, автоматически перено-
сятся на алгебру линейных эндоморфизмов. Приведем их сводку:
                       det(ψ ◦ ϕ) = det(ψ) · det(ϕ);               (13.39)
                  tr(λ · ϕ + µ · ψ) = λ · tr(ϕ) + µ · tr(ψ);       (13.40)
                           tr(ψ ◦ ϕ) = tr(ϕ ◦ ψ).                  (13.41)