Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 174 стр.

174   Линейные отображения конечномерных пространств               Гл. 2

   Вычислим матрицу л.э. (13.29), рассматриваемого на простран-
стве многочленов V = Rn [x] относительно естественного базиса
Bn = [ 1, x, ..., xn ]. Имеем: ∆(1) = 0 и для любого k = 1, ..., n:

         ∆(xk ) = Ck1 xk−1 + Ck2 xk−2 + ... + Ckk−1 x + 1.        (13.30)

  (Мы просто взяли h = 1 в проведенных выше вычислениях для
оператора ∆h .) Таким образом, получается матрица
                                                            
                      0 1       1     1    ...    1     1
                   0 0                          n−2
                               2     3    ... Cn−1    Cnn−1 
                                                             
                   0 0         0     3          n−3
                                           ... Cn−1    Cnn−2 
                                                            
                   0 0         0     0          n−4
                                           ... Cn−1    Cnn−3 
           B      =
                    ... ...
                                                             .   (13.31)
      (n+1)×(n+1)             ...   ...   ...   ...     ... 
                                                             
                   0 0         0     0    ... n − 1       2 
                                                        Cn 
                   
                   0 0         0     0    ...    0      n 
                      0 0       0     0    ...    0       0

   Сравните матрицу (13.31), отвечающую оператору разностного
дифференцирования, с матрицей A, заданной формулой (13.19) и
отвечающей (в том же базисе) оператору обычного дифференциро-
вания. Обе эти матрицы являются верхними нильтреугольными
(на главной диагонали и ниже стоят нули), у них совпадают "пер-
вые наддиагонали". А вот выше матрица B выглядит значительно
сложнее, чем A. Тем не менее, B тоже нильпотентна. (Непосред-
ственная проверка этого была бы весьма непростой, однако косвен-
ное доказательство совершенно очевидно: оператор ∆, так же, как
и оператор 0 , понижает степень многочлена ровно на единицу, и по-
этому ∆n+1 = o.)
   С привлечением более серьезной алгебраической техники можно
доказать, что в пространстве многочленов найдется такой базис, в
котором оператору ∆ отвечает матрица, в точности совпадающая с
(13.190 ), т. е. — с н.ж.я. (n + 1)-го порядка. Другими словами, этот
ящик и матрица B подобны: B ∼      ◦ ◦ Jn+1 (0) .



  13.9. Определитель и след для линейного эндоморфиз-
ма. Здесь читателям безусловно необходимо освежить в своей опе-
ративной памяти (достаточно непростой) материал четвертой главы
первого пособия, относящийся к теории определителей.