Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

180 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
Определение 14.2. Размерность образа линейного отображения
(14.8) называется рангом этого отображения; используется обозначе-
ние:
rank(ϕ) = dim(Im(ϕ)). (14.14)
Размерность ядра (14.9) отображения (14.8) называется дефектом
этого отображения; используется обозначение:
dfc(ϕ) = dim(Ker(ϕ)). (14.15)
Зафиксируем в пространствах V и W какие-либо базисы
B = [b
1
, b
1
, ... , b
n
] (14.16)
и
C = [c
1
, c
1
, ... , c
m
]. (14.17)
В этих базисах оператору ϕ соответствует (m×n)-матрица A. Ранг
и дефект оператора ϕ оказываются связанными с рангом матрицы A.
Точнее, справедливо следующее
Предложение 14.2. 1. Образ Im(ϕ) линейного оператора (14.8)
является линейной оболочкой образа ϕ(B) базиса (14.16):
Im(ϕ) = hϕ(B)i . (14.18)
2. Ранг оператора ϕ совпадает с рангом соответствующей матри-
цы:
rank(ϕ) = rank(A); (14.19)
дефект ϕ выражается формулой
dfc(ϕ) = n − rank(A). (14.20)
3. Сумма ранга и дефекта линейного отображения равняется раз-
мерности первого пространства:
rank(ϕ) + dfc(ϕ) = dim(V ). (14.21)
Доказательство. 1. Рассмотрим произвольный вектор y = ϕ(x),
принадлежащий Im(ϕ). Разлагая x ∈ V по базису B и пользуясь ли-
нейностью ϕ, мы получаем для y разложение по с.в. ϕ(B); включение
180   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

   Определение 14.2. Размерность образа линейного отображения
(14.8) называется рангом этого отображения; используется обозначе-
ние:
                       rank(ϕ) = dim(Im(ϕ)).                (14.14)
   Размерность ядра (14.9) отображения (14.8) называется дефектом
этого отображения; используется обозначение:

                      dfc(ϕ) = dim(Ker(ϕ)).                 (14.15)

    Зафиксируем в пространствах V и W какие-либо базисы

                         B = [b1 , b1 , ... , bn ]          (14.16)

и
                        C = [c1 , c1 , ... , cm ].          (14.17)
   В этих базисах оператору ϕ соответствует (m×n)-матрица A. Ранг
и дефект оператора ϕ оказываются связанными с рангом матрицы A.
Точнее, справедливо следующее
  Предложение 14.2. 1. Образ Im(ϕ) линейного оператора (14.8)
является линейной оболочкой образа ϕ(B) базиса (14.16):

                         Im(ϕ) = hϕ(B)i .                   (14.18)

  2. Ранг оператора ϕ совпадает с рангом соответствующей матри-
цы:
                       rank(ϕ) = rank(A);                (14.19)
дефект ϕ выражается формулой

                       dfc(ϕ) = n − rank(A).                (14.20)

  3. Сумма ранга и дефекта линейного отображения равняется раз-
мерности первого пространства:

                    rank(ϕ) + dfc(ϕ) = dim(V ).             (14.21)

  Доказательство. 1. Рассмотрим произвольный вектор y = ϕ(x),
принадлежащий Im(ϕ). Разлагая x ∈ V по базису B и пользуясь ли-
нейностью ϕ, мы получаем для y разложение по с.в. ϕ(B); включение

Страницы