Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

182 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
Для дефектов получим:
dfc(ϕ) = dfc(Φ) = dim(L
0
A
) = n − rank(A). (14.26)
Второе утверждение предложения доказано. Добавим только, что
величина n − rank(A) получает название дефекта матрицы A и обо-
значение dfc(A).
3. Третье утверждение предложения (известное как связь ран-
га и дефекта для линейного отображения) немедленно следует из
(14.22). [В следующем параграфе (см. замечание 15.3) это важное
утверждение получит новую, более наглядную трактовку и незави-
симое доказательство.] ¤
Из предложения 14.2 немедленно следуют несколько простых, но
очень часто используемых свойств рангов и дефектов для линейных
отображений и для матриц. Мы соберем эти утверждения в следу-
ющем предложении.
Предложение 14.3. 1. Всякий линейный оператор (14.8) обла-
дает свойством неповышения размерности, выражаемым формула-
ми:
dim(Im(ϕ)) 6 dim(V ) (14.27)
и
( ∀ V
1
6 V ) [ dim(ϕ(V
1
)) 6 dim(V
1
) ]. (14.28)
2. Для композиции V
ϕ
→ W
ψ
→ U имеют место неравенства
rank(ψ ◦ ϕ) 6 min(rank(ϕ), rank(ψ)) (14.29)
и
dfc(ψ ◦ ϕ) > dfc(ϕ). (14.30)
3. Аналогичные неравенства справедливы для произведения мат-
риц (согласованных размеров):
rank(B · A) 6 min(rank(A), rank(B)); (14.31)
dfc(B · A) > dfc(A). (14.32)
Доказательство. 1. Из (14.21) вытекает неравенство
rank(ϕ) 6 dim(V ),
182   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

    Для дефектов получим:

              dfc(ϕ) = dfc(Φ) = dim(L0A ) = n − rank(A).    (14.26)

   Второе утверждение предложения доказано. Добавим только, что
величина n − rank(A) получает название дефекта матрицы A и обо-
значение dfc(A).
   3. Третье утверждение предложения (известное как связь ран-
га и дефекта для линейного отображения) немедленно следует из
(14.22). [В следующем параграфе (см. замечание 15.3) это важное
утверждение получит новую, более наглядную трактовку и незави-
симое доказательство.] ¤
  Из предложения 14.2 немедленно следуют несколько простых, но
очень часто используемых свойств рангов и дефектов для линейных
отображений и для матриц. Мы соберем эти утверждения в следу-
ющем предложении.

  Предложение 14.3. 1. Всякий линейный оператор (14.8) обла-
дает свойством неповышения размерности, выражаемым формула-
ми:
                     dim(Im(ϕ)) 6 dim(V )            (14.27)
и
                 ( ∀ V1 6 V ) [ dim(ϕ(V1 )) 6 dim(V1 ) ].   (14.28)
                           ϕ     ψ
    2. Для композиции V → W → U имеют место неравенства

                 rank(ψ ◦ ϕ) 6 min(rank(ϕ), rank(ψ))        (14.29)

и
                          dfc(ψ ◦ ϕ) > dfc(ϕ).              (14.30)
  3. Аналогичные неравенства справедливы для произведения мат-
риц (согласованных размеров):

                rank(B · A) 6 min(rank(A), rank(B));        (14.31)

                         dfc(B · A) > dfc(A).               (14.32)


    Доказательство. 1. Из (14.21) вытекает неравенство

                          rank(ϕ) 6 dim(V ),

Страницы