Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 183 стр.

§ 14   Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения      183

которое можно переписать в виде (14.27).¯ Неравенство (14.28) полу-
чается применением (14.27) к сужению ϕ¯V1 оператора ϕ на подпро-
странство V1 .
  2. Из очевидного включения

               Im(ψ ◦ ϕ) = ψ(ϕ(V )) ⊆ ψ(W ) = Im(ψ)         (14.33)

следует, что rank(ψ ◦ϕ) 6 rank(ψ). Применяя (14.28) к оператору ψ и
подпространству W1 = ϕ(V ), мы получим, что rank(ψ ◦ ϕ) 6 rank(ϕ).
Значит, справедливо неравенство (14.29).
  Неравенство (14.30) выводится из включения

                       Ker(ψ ◦ ϕ) ⊇ Ker(ϕ).                 (14.34)

   [Обратите внимание на то, что для дефектов нет полного анало-
га неравенства (14.29). Контрпример легко построить, если в каче-
стве ϕ взять, скажем, нулевой оператор.]
   3. Результаты для матриц не требуют отдельного доказательства
[в силу теоремы 12.1 (о соответствии между опреаторами и матрица-
ми) и формулы (14.19)]. Заметим, что эти неравенства могут быть
получены и без привлечения линейных операторов, на языке мат-
риц, но такое доказательство оказывается значительно менее "про-
зрачным". ¤

   14.3. Алгоритмы построения базисов в ядре и образе ли-
нейного отображения. Как уже не раз объяснялось, для пуска
алгоритмов требуется, чтобы исходные объекты были арифметизо-
ваны (оцифрованы). В данном случае:
   — в линейных пространствах V и W должны быть зафиксирова-
ны некоторые базисы (14.14) и (14.15), после чего рассматриваемые
пространства отождествляются с арифметическими, P n и P m соот-
ветственно;
   — линейное отображение ϕ определяется своей матрицей A отно-
сительно выбранных базисов (фактически оно отождествляется со
своей оцифровкой Φ).
   После этого вполне естественно, что алгоритм построения базиса
в Ker(ϕ) сводится к алгоритму 10.1, определяющему базис в L0A , а
алгоритм построения базиса в Im(ϕ) — к алгоритму 10.2, находяще-
му базис в RA .
   Заметьте, что ядро линейного оператора оказывается заданным
первым способом, а образ — вторым.