Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 181 стр.

§ 14   Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения         181

Im(ϕ) ⊆ hϕ(B)i доказано. Обратное включение очевидно ввиду того,
что линейная оболочка hϕ(B)i является наименьшим из линейных
подпространств, содержащих все векторы ϕ(bj ) (j = 1, ... , n).
  2. Рассмотрим диаграмму 12.1, описывающую арифметизацию Φ
оператора ϕ; напомним, что в этой диаграмме β и γ являются коорди-
натными изоморфизмами, определяемыми выбранными базисами.
  Убедимся в том, что эти изоморфизмы отображают ядро (образ)
оператора ϕ на ядро (образ) оператора Φ, или, что равносильно,
докажем следующие утверждения:
                    [ x ∈ Ker(ϕ) ] ⇔ [ x ∈ Ker(Φ) ];
                                                               (14.22)
                     [ y ∈ Im(ϕ) ] ⇔ [ y ∈ Im(Φ) ],
где "надчеркнутые" векторы, как обычно, обозначают координатные
столбцы, отвечающиее (в выбранных базисах) исходным (абстракт-
ным) векторам x ∈ V и y ∈ W.
   Первое из утверждений (14.22) доказывается так: если x ∈ Ker(ϕ),
т. е. ϕ(x) = 0, то, в силу (12.27), Φ(x) = ϕ(x) = 0, т. е. x ∈ Ker(Φ);
обратно, если Φ(x) = 0, то ϕ(x) = 0 и, следовательно, ϕ(x) = 0.
   Второе из утверждений (14.22) проверяется аналогично, займи-
тесь этим самостоятельно.
   Из того, что ядро и образ оператора ϕ изоморфны (соответствен-
но) ядру и образу Φ, вытекает, что указанные операторы имеют
одинаковые ранги и дефекты. Более того, по установленному ра-
нее первому утверждению данного предложения [см. также фор-
мулу (14.13)], Im(Φ) порождается векторами Φ(ej ) = A · ej = aj
(j = 1, ..., n), т. е. является линейной оболочкой столбцов матрицы A.
   Напомним еще раз, что, начиная с п. 13.1 книги [A1 ] (см. также в
настоящем пособии: п. 10.1 и замечание 14.2), мы говорили об образе
RA матрицы, понимая под этим линейную оболочку ее столбцов.
Этот образ оказывается не чем иным, как образом RΦ :
                     RA = RΦ = Im(Φ) ∼
                                     = Im(ϕ).                  (14.23)
   Для рангов получим:
              rank(ϕ) = rank(Φ) = dim(RA ) = rank(A).          (14.24)
   Аналогично, второе из утверждений (14.22) влечет совпадение яд-
ра (нуль-пространства) L0A матрицы A [см. (14.14)] с ядром L0Φ , в
свою очередь, изоморфным ядру исходного оператора:
                    L0A = L0Φ = Ker(Φ) ∼
                                       = Ker(ϕ).               (14.25)