Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

162 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
C = [c
1
, c
2
, c
3
, c
4
] в указанных пространствах оператору ϕ отвечает
матрица
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
.
Найти матрицу оператора ϕ в новых базисах B
0
и C
0
, связанных с
исходными формулами
b
0
1
= b
1
+ b
2
+ b
3
;
b
0
2
= b
1
+ b
2
;
b
0
3
= b
1
;
и
с
0
1
= 2с
1
−с
2
;
c
0
2
= 2c
2
+c
3
;
c
0
3
= 2c
3
+c
4
;
c
0
4
= c
1
+c
2
+c
3
.
Р е ш е н и е. Составляем матрицы перехода
T =
1 1 1
1 1 0
1 0 0
и
Q =
2 0 0 1
−1 2 0 1
0 1 2 1
0 0 1 0
.
Во избежание неожиданных неприятностей в последующих вы-
числениях, рекомендуется немедленно проверить корректность по-
ставленной задачи: действительно ли заданные формулами перехода
системы векторов B
0
и C
0
являются базисами? Чтобы гарантировать
это, мы должны проверить обратимость матриц T и Q. Для этого
достаточно найти их ранги (и убедиться в том, что они полные) или
вычислить их определители (и убедиться в том, что они ненулевые).
Проверку обратимости Q следует "довести до конца", т. е. явно
вычислить обратную матрицу Q
−1
. После этого останется применить
формулу (13.2а) и получить
162   Линейные отображения конечномерных пространств             Гл. 2

C = [c1 , c2 , c3 , c4 ] в указанных пространствах оператору ϕ отвечает
матрица
                                            
                                      1 0 0
                                    0 1 0
                                A=          .
                                      0 0 1
                                      1 1 1
  Найти матрицу оператора ϕ в новых базисах B0 и C 0 , связанных с
исходными формулами
                      0
                      b1 = b1 + b2 + b3 ;
                       b02 = b1 + b2    ;
                      0
                       b3 = b1          ;

и
                   0
                   с     = 2с1   −с2              ;
                   10
                    c2    =       2c2   +c3        ;
                     0
                   c30
                         =             2c3    +c4 ;
                    c4    = c1    +c2   +c3        .

    Р е ш е н и е. Составляем матрицы перехода
                                          
                                 1 1     1
                               
                            T = 1 1      0
                                 1 0     0

и                                     
                               2 0 0 1
                             −1 2 0 1 
                          Q=          .
                               0 1 2 1
                               0 0 1 0
   Во избежание неожиданных неприятностей в последующих вы-
числениях, рекомендуется немедленно проверить корректность по-
ставленной задачи: действительно ли заданные формулами перехода
системы векторов B0 и C 0 являются базисами? Чтобы гарантировать
это, мы должны проверить обратимость матриц T и Q. Для этого
достаточно найти их ранги (и убедиться в том, что они полные) или
вычислить их определители (и убедиться в том, что они ненулевые).
   Проверку обратимости Q следует "довести до конца", т. е. явно
вычислить обратную матрицу Q−1 . После этого останется применить
формулу (13.2а) и получить

Страницы