Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 159
Определение 13.1. Две матрицы A, B ∈ Mat(m, n; P ) называ-
ются эквивалентными (и это обозначается A ∼ B), если существу-
ют две обратимые квадратные матрицы, L (размера m × m) и R
(размера n × n), такие, что
B = L · A · R. (13.9)
Отношение A ∼ B является отношением эквивалентности, т. е.
оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В самом деле, ре-
флексивность
A ∼ A
получается, если в (13.9) взять в качестве L и R единичные матрицы;
симметричность
[ A ∼ B ] =⇒ [ B ∼ A ]
следует из того, что (13.9) влечет
A = L
−1
· B · R
−1
, (13.9
0
)
а транзитивность
[ A ∼ B ] ∧ [ B ∼ C ] =⇒ [ A ∼ C ]
доказывается так:
[ B = L · A · R ] ∧ [ C = L
1
· B · R
1
] =⇒ [ C = (L
1
L) · A · (RR
1
) ],
где произведения L
1
L и RR
1
являются обратимыми матрицами.
Замечание 13.1. Мы не впервые в курсе алгебры сталкиваемся с
отношениями эвивалентности. Скажем, в п. 36.5 пособия [A
1
] вводи-
лось отношение ассоциированности для элементов коммутативного
кольца, которое также является отношением эквивалентности. Бо-
лее того, оно обозначалось тем же символом ∼ (в связи с чем уже
говорилось о "перегруженности" последнего). Разумеется, это — со-
вершенно разные отношения, заданные на разных множествах.
Можно заметить, однако, что любое отношение эквивалентности
разбивает множество, на котором оно задано, в объединение по-
парно не пересекающихся подмножеств — классов эквивалентности
(в один класс попадают эквивалентные друг другу элементы; эле-
менты различных классов не эквивалентны между собой).
В [A
1
, п. 44.3] говорилось также о "проблеме представительства":
требуется "назначить" канонических представителей, по одному от
каждого класса эквивалентености. Ниже эта задача будет решена
для отношения эквивалентности прямоугольных матриц.
§ 13    Преобразование матрицы линейного отображения                    159

   Определение 13.1. Две матрицы A, B ∈ Mat(m, n; P ) называ-
ются эквивалентными (и это обозначается A ∼ B), если существу-
ют две обратимые квадратные матрицы, L (размера m × m) и R
(размера n × n), такие, что
                              B = L · A · R.                           (13.9)

  Отношение A ∼ B является отношением эквивалентности, т. е.
оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В самом деле, ре-
флексивность
                           A∼A
получается, если в (13.9) взять в качестве L и R единичные матрицы;
симметричность
                        [ A ∼ B ] =⇒ [ B ∼ A ]
следует из того, что (13.9) влечет
                            A = L−1 · B · R−1 ,                       (13.90 )
а транзитивность
                    [ A ∼ B ] ∧ [ B ∼ C ] =⇒ [ A ∼ C ]
доказывается так:
   [ B = L · A · R ] ∧ [ C = L1 · B · R1 ] =⇒ [ C = (L1 L) · A · (RR1 ) ],
где произведения L1 L и RR1 являются обратимыми матрицами.
   Замечание 13.1. Мы не впервые в курсе алгебры сталкиваемся с
отношениями эвивалентности. Скажем, в п. 36.5 пособия [A1 ] вводи-
лось отношение ассоциированности для элементов коммутативного
кольца, которое также является отношением эквивалентности. Бо-
лее того, оно обозначалось тем же символом ∼ (в связи с чем уже
говорилось о "перегруженности" последнего). Разумеется, это — со-
вершенно разные отношения, заданные на разных множествах.
   Можно заметить, однако, что любое отношение эквивалентности
разбивает множество, на котором оно задано, в объединение по-
парно не пересекающихся подмножеств — классов эквивалентности
(в один класс попадают эквивалентные друг другу элементы; эле-
менты различных классов не эквивалентны между собой).
   В [A1 , п. 44.3] говорилось также о "проблеме представительства":
требуется "назначить" канонических представителей, по одному от
каждого класса эквивалентености. Ниже эта задача будет решена
для отношения эквивалентности прямоугольных матриц.

Страницы