Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 157
Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор x ∈ V и его
образ y = ϕ(x) ∈ W при отображении (13.1). Согласно (12.32), будем
иметь:
y = A · x; (13.3a)
y
0
= A
0
· x
0
, (13.3b)
где векторы-столбцы x и x
0
(y и y
0
) связаны формулами типа (7.12):
x = T · x
0
; x
0
= T
−1
· x; (13.4a)
y = Q · y
0
; y
0
= Q
−1
· y. (13.4b)
Обратите внимание на то, что (как и в § 7) штрихи в формулах
(13.3b), (13.4a) и (13.4b) относятся не к буквам x или y, а к чертам
над ними; так арифметические векторы x и x
0
изображают один и
тот же абстрактный вектор x ∈ V , но в разных базисах B и B
0
.
Подставляя во вторую из формул (13.4b) значение y из формулы
(13.3a), а в полученный результат — значение x из (13.4a), получим
(с учетом ассоциативности матричного умножения):
y
0
= (Q
−1
· A · T ) · x
0
. (13.5)
Приравнивая правые части формул (13.3b) и (13.5), получим ра-
венство
A
0
· x
0
= (Q
−1
· A · T ) · x
0
, (13.6)
которое должно иметь место для любого вектора x ∈ V , или, что
равносильно, для любого вектора-столбца x
0
∈ P
n
. (Соответствие
между x и x
0
является изоморфизмом, и когда x пробегает все V —
x
0
пробегает все P
n
.)
Неопытные читатели захотят здесь просто "сократить" равенство
(13.6) на x
0
. Но, увы, "сокращение на вектор" абсолютно незаконно!
Из соотношения
A
m×n
· x
n×1
= B
m×n
· x
n×1
(13.7)
отнюдь не следует A = B. Однако это заключение становится спра-
ведливым, если (13.7) верно для любого x ∈ P
n
. Действительно,
тогда в качестве x можно выбирать по очереди все векторы есте-
ственного базиса e
j
(j = 1, ..., n), в результате чего окажутся равны-
ми все соответствующие столбцы рассматриваемых матриц: a
j
= b
j
(j = 1, ..., n). Следовательно, будут равны и сами матрицы: A = B.
§ 13    Преобразование матрицы линейного отображения             157

  Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор x ∈ V и его
образ y = ϕ(x) ∈ W при отображении (13.1). Согласно (12.32), будем
иметь:
                            y = A · x;                     (13.3a)
                              y 0 = A0 · x0 ,                  (13.3b)
где векторы-столбцы x и x0 (y и y 0 ) связаны формулами типа (7.12):

                       x = T · x0 ; x0 = T −1 · x;             (13.4a)
                       y = Q · y 0 ; y 0 = Q−1 · y.            (13.4b)

   Обратите внимание на то, что (как и в § 7) штрихи в формулах
(13.3b), (13.4a) и (13.4b) относятся не к буквам x или y, а к чертам
над ними; так арифметические векторы x и x0 изображают один и
тот же абстрактный вектор x ∈ V , но в разных базисах B и B0 .
   Подставляя во вторую из формул (13.4b) значение y из формулы
(13.3a), а в полученный результат — значение x из (13.4a), получим
(с учетом ассоциативности матричного умножения):

                        y 0 = (Q−1 · A · T ) · x0 .             (13.5)

  Приравнивая правые части формул (13.3b) и (13.5), получим ра-
венство
                  A0 · x0 = (Q−1 · A · T ) · x0 ,         (13.6)
которое должно иметь место для любого вектора x ∈ V , или, что
равносильно, для любого вектора-столбца x0 ∈ P n . (Соответствие
между x и x0 является изоморфизмом, и когда x пробегает все V —
x0 пробегает все P n .)
   Неопытные читатели захотят здесь просто "сократить" равенство
(13.6) на x0 . Но, увы, "сокращение на вектор" абсолютно незаконно!
Из соотношения
                           A · x = B · x                      (13.7)
                        m×n    n×1     m×n      n×1

отнюдь не следует A = B. Однако это заключение становится спра-
ведливым, если (13.7) верно для любого x ∈ P n . Действительно,
тогда в качестве x можно выбирать по очереди все векторы есте-
ственного базиса ej (j = 1, ..., n), в результате чего окажутся равны-
ми все соответствующие столбцы рассматриваемых матриц: aj = bj
(j = 1, ..., n). Следовательно, будут равны и сами матрицы: A = B.

Страницы