Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Алгебра линейных отображений и алгебра матриц 155
с легко усматриваемым блочным строением:
C =
b
11
A
2×3
b
21
A
2×3
b
12
A
2×3
b
22
A
2×3
b
13
A
2×3
b
23
A
2×3
b
14
A
2×3
b
24
A
2×3
. (12.45)
Обратите внимание на такую деталь: скалярными множителями
в блоках, перед матричными множителями A служат элементы мат-
рицы B
t
, транспонированной к B.
Замечание 12.5. Остается прояснить общую закономерность, про-
слеживаемую в трех последних примерах. С этой целью придется
ввести новое алгебраическое действие над матрицами, называемое
кронекеровским умножением.
Для любых прямоугольных матриц A и B, произвольных разме-
ров m × n и p × q соответственно, определяется следующая матрица
размера mp × nq:
C
mp×nq
= A
m×n
⊗ B
p×q
=
a
11
B a
12
B · · · a
1n
B
a
21
B a
22
B · · · a
2n
B
· · · · · · · · · · · ·
a
m1
B a
m2
B · · · a
mn
B
. (12.46)
Принцип составления матрицы (12.46) таков: каждай элемент a
ij
первой матрицы заменяется на блок a
ij
B, равный произведению это-
го элемента на вторую матрицу.
Матрица A ⊗ B называется кронекеровским (или, иногда, тензор-
ным) произведением матриц A и B.
Теперь можно объявить, что матрица (12.45) есть не что иное, как
кронекеровское произведение
C = B
t
⊗ A. (12.47)
Матрицы (12.39) и (12.43) также можно представить в виде кро-
некеровских произведений:
A = E ⊗ A; B = B
t
⊗ E. (12.48)
§ 12   Алгебра линейных отображений и алгебра матриц          155

с легко усматриваемым блочным строением:
                                             
                              b11 A   b21 A
                                2×3     2×3
                                       
                        b A b A 
                         12 2×3 22 2×3 
                                       
                      C=               .                  (12.45)
                         b13 A b23 A 
                         2×3       2×3 
                                       
                          b14 A b24 A
                                2×3     2×3

   Обратите внимание на такую деталь: скалярными множителями
в блоках, перед матричными множителями A служат элементы мат-
рицы B t , транспонированной к B.

  Замечание 12.5. Остается прояснить общую закономерность, про-
слеживаемую в трех последних примерах. С этой целью придется
ввести новое алгебраическое действие над матрицами, называемое
кронекеровским умножением.
  Для любых прямоугольных матриц A и B, произвольных разме-
ров m × n и p × q соответственно, определяется следующая матрица
размера mp × nq:
                                                      
                             a11 B a12 B · · · a1n B
                                                      
                           a21 B a22 B · · · a2n B 
        C = A ⊗ B =       
                                                       .
                                                         (12.46)
      mp×nq   m×n    p×q
                             · · ·  · · · · · · · · · 
                             am1 B am2 B · · · amn B

   Принцип составления матрицы (12.46) таков: каждай элемент aij
первой матрицы заменяется на блок aij B, равный произведению это-
го элемента на вторую матрицу.
   Матрица A ⊗ B называется кронекеровским (или, иногда, тензор-
ным) произведением матриц A и B.
   Теперь можно объявить, что матрица (12.45) есть не что иное, как
кронекеровское произведение

                           C = B t ⊗ A.                     (12.47)

  Матрицы (12.39) и (12.43) также можно представить в виде кро-
некеровских произведений:

                    A = E ⊗ A; B = B t ⊗ E.                 (12.48)

Страницы