Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

152 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
и определим отображение (очевидно, являющееся линейным) умно-
жения слева матриц из V
1
на матрицу A (результат будет матрицей
из V
2
):
λ
A
: V
1
−→ V
2
; X 7→ A · X; X ∈ V
1
. (12.36)
В пространствах V
1
и V
2
рассмотрим естественные базисы E
(1)
и E
(2)
, составленные из матриц вида E
ij
(см. пример 4.1), содержа-
щих лишь один ненулевой элемент — единицу, в указываемой индек-
сами позиции. Базис остается базисом при произвольном переупоря-
дочивании своих элементов. Но это уже будет другой базис. И для
составления матрицы линейного отображения (12.36) порядок, в ко-
тором записываются элементы базисов, отнюдь не безразличен.
Примем следующий порядок элементов в первом базисе:
E
(1)
= [ E
(1)
11
, E
(1)
21
, E
(1)
31
, E
(1)
12
, E
(1)
22
, E
(1)
32
]. (12.37)
(Мы вынуждены здесь снабдить матрицы еще одним, третьим ин-
дексом (в скобках, вверху), чтобы отличать базисы в разных про-
странствах. Матрица E
11
в размере 3 × 2 и матрица с таким же
обозначением в размере 2 × 2 — это разные матрицы.)
Такой выбор порядка элементов базиса приводит к описанному
ранее (в примере 1.9) линейному изоморфизму — оператору векто-
ризации vec, сопоставляющему матрице
X
3×2
=
x
11
x
12
x
21
x
22
x
31
x
32
∈ V
1
"высокий" вектор-столбец
x =
x
11
x
21
x
31
x
12
x
22
x
32
∈ P
6
,
составленный из записанных один под другим столбцов матрицы X.
Аналогичным образом выбирается базис в пространстве V
2
:
E
(2)
= [ E
(1)
11
, E
(2)
21
, E
(2)
12
, E
(2)
22
]. (12.38)
152   Линейные отображения конечномерных пространств            Гл. 2

и определим отображение (очевидно, являющееся линейным) умно-
жения слева матриц из V1 на матрицу A (результат будет матрицей
из V2 ):
               λA : V1 −→ V2 ; X 7→ A · X; X ∈ V1 .      (12.36)
   В пространствах V1 и V2 рассмотрим естественные базисы E (1)
и E (2) , составленные из матриц вида Eij (см. пример 4.1), содержа-
щих лишь один ненулевой элемент — единицу, в указываемой индек-
сами позиции. Базис остается базисом при произвольном переупоря-
дочивании своих элементов. Но это уже будет другой базис. И для
составления матрицы линейного отображения (12.36) порядок, в ко-
тором записываются элементы базисов, отнюдь не безразличен.
   Примем следующий порядок элементов в первом базисе:
                         (1)   (1)   (1)   (1)   (1)     (1)
              E (1) = [ E11 , E21 , E31 , E12 , E22 , E32 ].   (12.37)

  (Мы вынуждены здесь снабдить матрицы еще одним, третьим ин-
дексом (в скобках, вверху), чтобы отличать базисы в разных про-
странствах. Матрица E11 в размере 3 × 2 и матрица с таким же
обозначением в размере 2 × 2 — это разные матрицы.)
  Такой выбор порядка элементов базиса приводит к описанному
ранее (в примере 1.9) линейному изоморфизму — оператору векто-
ризации vec, сопоставляющему матрице
                                    
                             x11 x12
                       X =  x21 x22  ∈ V1
                      3×2
                             x31 x32

"высокий" вектор-столбец
                                
                             x11
                            x21 
                                
                            x31 
                                
                         x=      ∈ P 6,
                                
                            x12 
                                
                             x22
                             x32

составленный из записанных один под другим столбцов матрицы X.
   Аналогичным образом выбирается базис в пространстве V2 :
                               (1)   (2)   (2)   (2)
                    E (2) = [ E11 , E21 , E12 , E22 ].         (12.38)

Страницы