Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

142 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
12.2. Матрица линейного отображения. Изоморфизмы
между линейными пространствами линейных операторов и
матриц. Рассмотрим конечномерные пространства V и W (размер-
ностей n и m соответственно) над полем P и линейное отображение
ϕ : V −→ W. (12.3)
Зафиксируем в пространствах V и W базисы
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] (12.4)
и
C = [ c
1
, c
2
, ... , c
m
] (12.5)
соответственно.
Для каждого из базисных векторов b
j
(j = 1, ..., n) рассмотрим
его образ a
j
= ϕ(b
j
) ∈ W и разложим этот вектор по базису C:
a
j
=
m
X
i=1
a
ij
c
i
. (12.6)
При фиксированном j = 1, ... , n коэффициенты
a
ij
= [ϕ(b
j
)]
i
; i = 1, ... , m (12.7)
являются координатами вектора (12.6) относительно базиса C; они
образуют арифметический вектор
a
j
=
a
1j
a
2j
...
a
mj
; j = 1, ..., n. (12.8)
Из векторов-столбцов (12.8) можно составить матрицу
A
m×n
=
³
ϕ(b
1
)
¯
¯
¯
ϕ(b
2
)
¯
¯
¯
...
¯
¯
¯
ϕ(b
n
)
´
=
a
11
a
21
...
a
m1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
12
a
22
...
a
m2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
...
...
...
...
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1n
a
2n
...
a
mn
. (12.9)
142    Линейные отображения конечномерных пространств                              Гл. 2

  12.2. Матрица линейного отображения. Изоморфизмы
между линейными пространствами линейных операторов и
матриц. Рассмотрим конечномерные пространства V и W (размер-
ностей n и m соответственно) над полем P и линейное отображение

                                ϕ : V −→ W.                                        (12.3)

    Зафиксируем в пространствах V и W базисы

                            B = [ b1 , b2 , ... , bn ]                             (12.4)

и
                            C = [ c1 , c2 , ... , cm ]                             (12.5)
соответственно.
   Для каждого из базисных векторов bj (j = 1, ..., n) рассмотрим
его образ aj = ϕ(bj ) ∈ W и разложим этот вектор по базису C:

                                      m
                                      X
                               aj =         aij ci .                               (12.6)
                                      i=1


    При фиксированном j = 1, ... , n коэффициенты

                        aij = [ϕ(bj )]i ; i = 1, ... , m                           (12.7)

являются координатами вектора (12.6) относительно базиса C; они
образуют арифметический вектор
                                 
                             a1j
                            a 
                       aj =  2j  ; j = 1, ..., n.                                (12.8)
                              ...
                             amj

    Из векторов-столбцов (12.8) можно составить матрицу
                                                        ¯       ¯       ¯     
                                         a11             ¯ a12   ¯ ...   ¯ a1n
        ³       ¯       ¯ ¯          ´                   ¯       ¯       ¯
                ¯       ¯ ¯             a               ¯ a22   ¯ ...   ¯ a2n 
     A = ϕ(b1 ) ¯ϕ(b2 ) ¯ ... ¯ϕ(bn ) =  21             ¯       ¯       ¯      . (12.9)
    m×n                                   ...            ¯ ...   ¯ ...   ¯ ...
                                                         ¯       ¯       ¯
                                         am1               am2     ...     amn

Страницы