Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 343 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 343
Матрицу I
1
также легко возвести в неотрицательную степень k:
(I
1
)
k
= I
k
, (29.18)
где 1) I
0
= E; 2) для любого k ∈ {1, ..., n − 1} все элементы мат-
рицы I
k
равны нулю, кроме равных единице элементов k-й верхней
наддиагонали; 3) для k > n: I
k
= O.
Последний факт нам давно известен: он выражает нильпотент-
ность (с показателем, равным n) матрицы I
1
. Автор надеется, что
в свое время (при изучении примера 13.4) читатели не уклонились
от упражнения по возведению в степень н.ж.я. Если же вы все-таки
пропустили это упражнение, то не поленитесь доказать указанный
факт сейчас, причем — в полной общности (используя, например,
индукцию по k, или же, что проще, — обращаясь к л.э., отвечающе-
му I
1
).
Для примера выпишем матрицу I
4
1
при n = 7:
I
4
1
= I
4
=
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
.
Далее заметим, что формула бинома Ньютона, позволяющая воз-
водить в произвольную целую неотрицательную степень сумму двух
чисел, остается справедливой в любом кольце при условии, что сла-
гаемые коммутируют. (В самом деле, ничем, кроме аксиом кольца
и свойства степеней (ab)
k
= a
k
b
k
, справедливого в предположении
ab = ba, мы при доказательстве этой формулы не пользуемся.)
Так что, если матрицы A, B ∈ L(n, P ) коммутируют (т. е. пере-
становочны: AB = BA), то для любого целого k > 0 справедливо
равенство:
(A + B)
k
=
k
X
s=0
C
s
k
A
k− s
B
s
, (29.19)
где, напомним, биномиальные коэффициенты (числа сочетаний) на-
ходятся по формулам:
C
s
k
=
s(s − 1)...(s − k + 1)
s!
. (29.20)
§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены             343

   Матрицу I1 также легко возвести в неотрицательную степень k:

                                (I1 )k = Ik ,                  (29.18)

где 1) I0 = E; 2) для любого k ∈ {1, ..., n − 1} все элементы мат-
рицы Ik равны нулю, кроме равных единице элементов k-й верхней
наддиагонали; 3) для k > n: Ik = O.
   Последний факт нам давно известен: он выражает нильпотент-
ность (с показателем, равным n) матрицы I1 . Автор надеется, что
в свое время (при изучении примера 13.4) читатели не уклонились
от упражнения по возведению в степень н.ж.я. Если же вы все-таки
пропустили это упражнение, то не поленитесь доказать указанный
факт сейчас, причем — в полной общности (используя, например,
индукцию по k, или же, что проще, — обращаясь к л.э., отвечающе-
му I1 ).
   Для примера выпишем матрицу I14 при n = 7:
                                                          
                           0       0    0    0   1   0   0
                         0        0    0    0   0   1   0
                                                          
                         0        0    0    0   0   0   1
                4                                         
               I1 = I4 =  0       0    0    0   0   0   0.
                                                          
                         0        0    0    0   0   0   0
                                                          
                           0       0    0    0   0   0   0
                           0       0    0    0   0   0   0

   Далее заметим, что формула бинома Ньютона, позволяющая воз-
водить в произвольную целую неотрицательную степень сумму двух
чисел, остается справедливой в любом кольце при условии, что сла-
гаемые коммутируют. (В самом деле, ничем, кроме аксиом кольца
и свойства степеней (ab)k = ak bk , справедливого в предположении
ab = ba, мы при доказательстве этой формулы не пользуемся.)
   Так что, если матрицы A, B ∈ L(n, P ) коммутируют (т. е. пере-
становочны: AB = BA), то для любого целого k > 0 справедливо
равенство:
                                X k
                            k
                     (A + B) =       Cks Ak−s B s ,         (29.19)
                                       s=0

где, напомним, биномиальные коэффициенты (числа сочетаний) на-
ходятся по формулам:
                            s(s − 1)...(s − k + 1)
                    Cks =                          .           (29.20)
                                       s!

Страницы