Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 344 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

344 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Применим (29.19) к матрице (29.16):
A
k
= (λ
0
E + I
1
)
k
=
k
X
s=0
C
s
k
(λ
0
E)
k− s
I
s
1
=
k
X
s=0
C
s
k
λ
k−s
0
I
s
. (29.21)
Важно заметить, что если номер s > n, то соответствующее сла-
гаемое в (29.21) обращается в нуль, т. е. фактически суммирование
в этой формуле происходит лишь до min(k, n − 1).
Скажем, при n = 7, k = 4 мы будем иметь:
A
4
= (λ
0
E + I
1
)
4
=
4
X
s=0
C
s
k
λ
k− s
0
I
s
= λ
4
0
E + 4λ
3
0
I
1
+ 6λ
2
0
I
2
+ 4λ
0
I
3
+ I
4
=
=
λ
4
0
4λ
3
0
6λ
2
0
4λ
0
1 0 0
0 λ
4
0
4λ
3
0
6λ
2
0
4λ
0
1 0
0 0 λ
4
0
4λ
3
0
6λ
2
0
4λ
0
1
0 0 0 λ
4
0
4λ
3
0
6λ
2
0
4λ
0
0 0 0 0 λ
4
0
4λ
3
0
6λ
2
0
0 0 0 0 0 λ
4
0
4λ
3
0
0 0 0 0 0 0 λ
4
0
,
а при n = 7, k = 8 — соответственно:
A
8
= λ
8
0
E + 8λ
7
0
I
1
+ C
2
8
λ
6
0
I
2
+ C
3
8
λ
5
0
I
3
+ C
4
8
λ
4
0
I
4
+ C
5
8
λ
3
0
I
5
+ C
6
8
λ
2
0
I
6
=
=
λ
8
0
8λ
7
0
C
2
8
λ
6
0
C
3
8
λ
5
0
C
4
8
λ
4
0
C
5
8
λ
3
0
C
6
8
λ
2
0
0 λ
8
0
8λ
7
0
C
2
8
λ
6
0
C
3
8
λ
5
0
C
4
8
λ
4
0
C
5
8
λ
3
0
0 0 λ
8
0
8λ
7
0
C
2
8
λ
6
0
C
3
8
λ
5
0
C
4
8
λ
4
0
0 0 0 λ
8
0
8λ
7
0
C
2
8
λ
6
0
C
3
8
λ
5
0
0 0 0 0 λ
8
0
8λ
7
0
C
2
8
λ
6
0
0 0 0 0 0 λ
8
0
8λ
7
0
0 0 0 0 0 0 λ
8
0
.
344        Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                                        Гл. 3

  Применим (29.19) к матрице (29.16):
                                         k
                                         X                                   k
                                                                             X
       k
      A = (λ0 E + I1 ) =       k
                                                Cks (λ0 E)k−s I1s        =             Cks λk−s
                                                                                            0   Is .        (29.21)
                                         s=0                                 s=0
    Важно заметить, что если номер s > n, то соответствующее сла-
гаемое в (29.21) обращается в нуль, т. е. фактически суммирование
в этой формуле происходит лишь до min(k, n − 1).
    Скажем, при n = 7, k = 4 мы будем иметь:
                   X4
  4             4
A = (λ0 E + I1 ) =     Cks λk−s
                            0   Is = λ40 E + 4λ30 I1 + 6λ20 I2 + 4λ0 I3 + I4 =
                               s=0
                                                                                              
                         λ40       4λ30        6λ20      4λ0       1          0           0
                                                                                           
                                                                                           
                        0         λ40         4λ30      6λ20     4λ0         1          0 
                                                                                           
                                                                                           
                                                                                           
                        0           0          λ40      4λ30     6λ20       4λ0         1 
                                                                                           
                                                                                           
                                                                                           
               =        0           0          0         λ40     4λ30       6λ20       4λ0  ,
                                                                                           
                                                                                           
                                                                                         2
                        0           0          0            0    λ40        4λ30       6λ0 
                                                                                           
                                                                                           
                                                                                         3
                        0           0          0            0     0         λ40        4λ0 
                                                                                           
                 0    0    0    0    0                                        0          λ40
а при n = 7, k = 8 — соответственно:
A8 = λ80 E + 8λ70 I1 + C82 λ60 I2 + C83 λ50 I3 + C84 λ40 I4 + C85 λ30 I5 + C86 λ20 I6 =
                                                                                                       
                 λ80     8λ70        C82 λ60          C83 λ50    C84 λ40     C85 λ30          C86 λ20
                                                                                                   
                                                                                                   
                0        λ80            8λ70         C82 λ60    C83 λ50     C84 λ40          C85 λ30
                                                                                                    
                                                                                                   
                                                                                                   
                                                                                               4 4
                0         0             λ80           8λ70      C82 λ60     C83 λ50          C8 λ0 
                                                                                                   
                                                                                                   
                                                                                               3 5
           =    0         0              0            λ80        8λ70       C82 λ60          C8 λ0  .
                                                                                                   
                                                                                                   
                                                                                               2 6
                0         0              0             0         λ80         8λ70            C8 λ0 
                                                                                                   
                                                                                                   
                                                                                                7 
                0         0              0             0          0           λ80             8λ0 
                                                                                                   
                 0         0              0             0          0               0           λ80

Страницы