Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 346 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

346 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
где снова надо иметь в виду, что при s > n матрицы I
s
являются
нулевыми, т. е. фактически суммирование в (29.22) заканчивается
при s = min(r, n − 1).
К примеру, при n = 6, r = 8 мы будем иметь:
f(A)=
f(λ
0
) f
0
(λ
0
)
1
2!
f
00
(λ
0
)
1
3!
f
(3)
(λ
0
)
1
4!
f
(4)
(λ
0
)
1
5!
f
(5)
(λ
0
)
0 f(λ
0
) f
0
(λ
0
)
1
2!
f
00
(λ
0
)
1
3!
f
(3)
(λ
0
)
1
4!
f
(4)
(λ
0
)
0 0 f(λ
0
) f
0
(λ
0
)
1
2!
f
00
(λ
0
)
1
3!
f
(3)
(λ
0
)
0 0 0 f(λ
0
) f
0
(λ
0
)
1
2!
f
00
(λ
0
)
0 0 0 0 f(λ
0
) f
0
(λ
0
)
0 0 0 0 0 f(λ
0
)
.
Замечание 29.1. Расмотренный выше пример, а также установ-
ленные ранее свойства функций от матриц, позволяют, в принципе,
вычислять значения многочленов от произвольных матриц, приво-
дя их предварительно к ж.н.ф. В самом деле, если J = T
−1
AT —
жорданова форма матрицы A, то применяя к обратному выражению
A = T JT
−1
многочлен (29.3), мы получим f(A) = T f(J)T
−1
. А зна-
чение f(J) вычисляется поблочно, с применением к каждому блоку
формулы (29.22).
Подчеркнем, что непосредственное (без перехода к ж.н.ф.) вы-
числение f(A) может оказаться значительно более сложной задачей.
(Причина этого — в высокой вычислительной трудоемкости задачи
непосредственного возведения матрицы большого порядка в высо-
кую степень.)
Пример 29.2. Попробуйте непосредственно возвести в двадца-
тую степень матрицу
A :=
3 0 −1
5 1 −3
−2 1 2
.
Если у вас хватит терпения, то получится:
A
20
=
160956416 −49807360 −60293120
351272960 −109051904 −131072000
128450560 −39321600 −48758784
.
346     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                    Гл. 3

где снова надо иметь в виду, что при s > n матрицы Is являются
нулевыми, т. е. фактически суммирование в (29.22) заканчивается
при s = min(r, n − 1).
   К примеру, при n = 6, r = 8 мы будем иметь:
                                 1 00         1 (3)        1 (4)        1 (5)         
            f (λ0 )   f 0 (λ0 )   2! f (λ0 )   3! f (λ0 )   4! f (λ0 )   5! f (λ0 )
                                                                                      
                                                                                      
                                                                                      
                                              1 00         1 (3)        1 (4)         
             0       f (λ0 )      f 0 (λ0 )   2! f (λ0 )   3! f (λ0 )   4! f (λ0 )
                                                                                       
                                                                                      
                                                                                      
                                                                                      
                                                           1 00         1 (3)         
             0          0         f (λ0 )      f 0 (λ0 )                              
        
                                                           2! f (λ0 )   3! f (λ0 )    
                                                                                       
  f (A)=
        
                                                                                       .
                                                                                       
                                                                        1 00          
             0          0            0          f (λ0 )     f 0 (λ0 )                 
        
                                                                        2! f (λ0 )    
                                                                                       
                                                                                      
                                                                                      
                                                                                      
             0          0            0            0          f (λ0 )     f 0 (λ0 )    
                                                                                      
                                                                                      
                                                                                      
              0          0            0            0            0          f (λ0 )


  Замечание 29.1. Расмотренный выше пример, а также установ-
ленные ранее свойства функций от матриц, позволяют, в принципе,
вычислять значения многочленов от произвольных матриц, приво-
дя их предварительно к ж.н.ф. В самом деле, если J = T −1 AT —
жорданова форма матрицы A, то применяя к обратному выражению
A = T JT −1 многочлен (29.3), мы получим f (A) = T f (J)T −1 . А зна-
чение f (J) вычисляется поблочно, с применением к каждому блоку
формулы (29.22).
  Подчеркнем, что непосредственное (без перехода к ж.н.ф.) вы-
числение f (A) может оказаться значительно более сложной задачей.
(Причина этого — в высокой вычислительной трудоемкости задачи
непосредственного возведения матрицы большого порядка в высо-
кую степень.)
  Пример 29.2. Попробуйте непосредственно возвести в двадца-
тую степень матрицу
                                  
                            3 0 −1
                    A :=  5 1 −3  .
                           −2 1 2
  Если у вас хватит терпения, то получится:
                                               
                 160956416 −49807360 −60293120
        A20 =  351272960 −109051904 −131072000  .
                 128450560 −39321600 −48758784

Страницы