Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 347 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 347
Тот же результат можно получить "более культурным" (хотя то-
же не совсем простым) вычислением. Ж.н.ф. здесь найти довольно
легко:
J =
2 1 0
0 2 1
0 0 2
.
Можно сразу же возвести эту матрицу в двадцатую степень:
J
20
=
2
20
20 · 2
19
190 · 2
18
0 2
20
20 · 2
19
0 0 2
20
= 2
19
2 20 95
0 2 20
0 0 2
.
Как обычно, более кропотливым является отыскание матрицы пе-
рехода T (и обратной к ней):
T =
3 1 1
6 5 0
3 −2 0
; T
−1
=
1
27
0 2 5
0 3 −6
27 −9 −9
.
Теперь остается перемножить матрицы T ·J ·T
−1
.
Отметим, что порядок величины элементов искомой матрицы A
20
можно оценить уже по виду J
20
.
29.2. Аннулирующие многочлены для л.э. и для квад-
ратных матриц. Для математиков характерен особый взгляд на
"вещи" (как реальные, так и "идеальные", т. е. те объекты, кото-
рые входят в сферу изучения нашей своебразной науки). Вот, ска-
жем, естественная ("возникшая из жизни", знакомая с самых ранних
школьных классов) задача отыскания всех корней многочлена, т. е.
таких элементов (чисел), на которых данный многочлен обращается
в нуль. Всякий обыватель готов поверить, что это — важная задача.
Но надо быть математиком, чтобы осознать законность и важность
иного взгляда на тему: а что если элемент дан и надо определить
все многочлены, корнем которых он является?
Тот вопрос, который выше сформулирован, — совершенно три-
виален (и всякий, кто учился в первом семестре, должен сейчас с
необходимостью выдать на него ответ). Но тривиальные вопросы в
одной области часто перерастают в нетривиальные и важные про-
блемы в соседней.
В предыдущем пункте мы определили понятие значения обыч-
ного (скалярного) многочлена на "нескалярном" объекте — линей-
ном эндоморфизме или квадратной матрице. В этой области задача
§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены            347

  Тот же результат можно получить "более культурным" (хотя то-
же не совсем простым) вычислением. Ж.н.ф. здесь найти довольно
легко:                             
                             2 1 0
                       J = 0 2 1.
                             0 0 2
   Можно сразу же возвести эту матрицу в двадцатую   степень:
             20                                      
              2    20 · 219 190 · 218         2 20   95
      J = 0
       20
                     2 20
                             20 · 2  = 2  0 2
                                   19    19
                                                     20  .
               0      0        220            0 0     2
  Как обычно, более кропотливым является отыскание матрицы пе-
рехода T (и обратной к ней):
                                               
                3 1 1                  0    2   5
                                   1 
          T =  6 5 0  ; T −1 =       0    3 −6  .
                                  27
                3 −2 0                 27 −9 −9

  Теперь остается перемножить матрицы T · J · T −1 .
  Отметим, что порядок величины элементов искомой матрицы A20
можно оценить уже по виду J 20 .

   29.2. Аннулирующие многочлены для л.э. и для квад-
ратных матриц. Для математиков характерен особый взгляд на
"вещи" (как реальные, так и "идеальные", т. е. те объекты, кото-
рые входят в сферу изучения нашей своебразной науки). Вот, ска-
жем, естественная ("возникшая из жизни", знакомая с самых ранних
школьных классов) задача отыскания всех корней многочлена, т. е.
таких элементов (чисел), на которых данный многочлен обращается
в нуль. Всякий обыватель готов поверить, что это — важная задача.
Но надо быть математиком, чтобы осознать законность и важность
иного взгляда на тему: а что если элемент дан и надо определить
все многочлены, корнем которых он является?
   Тот вопрос, который выше сформулирован, — совершенно три-
виален (и всякий, кто учился в первом семестре, должен сейчас с
необходимостью выдать на него ответ). Но тривиальные вопросы в
одной области часто перерастают в нетривиальные и важные про-
блемы в соседней.
   В предыдущем пункте мы определили понятие значения обыч-
ного (скалярного) многочлена на "нескалярном" объекте — линей-
ном эндоморфизме или квадратной матрице. В этой области задача

Страницы