Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 349 стр.

§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены           349

где p(λ) = 0 или deg(p(λ)) < deg(g(λ).
   Остаток p(λ) является а.м. для A. Действительно,
                            (29.6 a ,b)
         p(A) = (f − gq)(A) ======= f (A) − g(A)q(A) = O,
и теперь, если p(λ) 6= 0, то получается противоречие с определени-
ем g(λ). Так что p(λ) = 0 и g(λ)|f (λ).
   Доказанное свойство влечет единственность с точностью до про-
порциональности аннулирующего для A многочлена минимальной
степени. Действительно, если как g(λ), так и g1 (λ) являются аннули-
рующими многочленами для A, причем оба они имеют наименьшую
возможную степень, то эти многочлены взаимно делят друг друга
и, следовательно, пропорциональны. Значит, однозначно определен
нормализованный а.м. для матрицы A наименьшей возможной сте-
пени.
   Подведем итоги.
  Предложение 29.1. Для любого л.э. ϕ, действующего в конеч-
номерном линейном пространстве V (для любой квадратной матри-
цы A), существует и однозначно определен нормализованный анну-
лирующий многочлен g(λ) наименьшей возможной степени.
  Этот многочлен делит любой аннулирующий многочлен для ϕ
(для A).
   Доказательство см. выше. ¤
  Аннулирующему многочлену, существование и единственность ко-
торого гарантируется предложением 29.1, присваивается собственное
имя.
  Определение 29.2. Нормализованный а.м. наименьшей возмож-
ной степени для л.э. ϕ (для квадратной матрицы A) называется ми-
нимальным аннулирущим многочленом (м.а.м.) для ϕ (для A) и
обозначается gϕ (λ) [соответственно gA (λ)].
   Ясно, что если матрица A отвечает л.э. ϕ в некотором базисе, то
м.а.м. для ϕ и м.а.м. для A совпадают.
   Определение м.а.м. можно, очевидно, пересказать в терминах де-
лимости: минимальный аннулирующий многочлен gA (λ) — это та-
кой (нормализованный) многочлен, что все кратные ему многочле-
ны (и только они) являются аннулирующими для A.
   Следующее предложение представляет основные свойства м.а.м.
для матриц (которые, разумеется, допускают переформулировку
применительно к случаю л.э.).