Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 350 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

350 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Предложение 29.2. 1. М.а.м. для блочно диагональной матри-
цы (29.10) равен наименьшему общему кратному м.а.м. для диаго-
нальных блоков:
g
A
(λ) = [g
A
1
(λ), g
A
2
(λ), ... , g
A
s
(λ)]. (29.24)
2. Подобные матрицы имеют одинаковые м.а.м.:
(B
◦
∼
◦
A) =⇒ ( g
B
(λ) = g
A
(λ) ). (29.25)
Доказательство. 1. Согласно формуле (29.11), значение много-
члена f(λ) от блочно-диагональной матрицы (29.10) находится по-
блочно и, следовательно, может обращаться в нуль в том и только
том случае, когда f(A
i
) = O (для любого i = 1, ..., s). Каждое из этих
равенств равносильно делимости g
A
i
(λ)|f(λ); их совместное выпол-
нение (по определению НОК) равносильно делимости
[g
A
1
(λ), g
A
2
(λ), ... , g
A
s
(λ)] | f(λ). (29.26)
Итак, многочлен является аннулирующим для A тогда и толь-
ко тогда, когда он делится на НОК минимальных многочленов для
диагональных блоков. Значит, минимальный многочлен для A сов-
падает с этим НОК.
2. Согласно п. 29.1, B = T
−1
AT влечет f(B) = T
−1
f(A)T. Сле-
довательно, значения f(A) и f(B) могут обращаться в нуль лишь
одновременно, т. е. совокупности аннулирующих многочленов для A
и для B одинаковы. Из последнего обстоятельства вытекает совпа-
дение соответствующих м.а.м. ¤
Основным результатом о минимальных аннулирующих многочле-
нах является следующая
Теорема 29.1. 1. Минимальный аннулирующий многочлен для
жорданова ящика A = J
n
(λ
0
) может быть определен по формуле
g
A
(λ) = (λ − λ
0
)
n
. (29.27)
2. Пусть (n ×n)-матрица A приводима к жордановой нормальной
форме, σ(A) = {λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
} — ее спектр. Для каждого харак-
теристического корня λ
i
определим максимальный размер l
i
среди
соответствующих ему жордановых ящиков.
350     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

  Предложение 29.2. 1. М.а.м. для блочно диагональной матри-
цы (29.10) равен наименьшему общему кратному м.а.м. для диаго-
нальных блоков:

                  gA (λ) = [gA1 (λ), gA2 (λ), ... , gAs (λ)].   (29.24)

  2. Подобные матрицы имеют одинаковые м.а.м.:

                     (B ∼
                        ◦◦ A) =⇒ ( gB (λ) = gA (λ) ).           (29.25)

  Доказательство. 1. Согласно формуле (29.11), значение много-
члена f (λ) от блочно-диагональной матрицы (29.10) находится по-
блочно и, следовательно, может обращаться в нуль в том и только
том случае, когда f (Ai ) = O (для любого i = 1, ..., s). Каждое из этих
равенств равносильно делимости gAi (λ)|f (λ); их совместное выпол-
нение (по определению НОК) равносильно делимости

                   [gA1 (λ), gA2 (λ), ... , gAs (λ)] | f (λ).   (29.26)

   Итак, многочлен является аннулирующим для A тогда и толь-
ко тогда, когда он делится на НОК минимальных многочленов для
диагональных блоков. Значит, минимальный многочлен для A сов-
падает с этим НОК.
   2. Согласно п. 29.1, B = T −1 AT влечет f (B) = T −1 f (A)T . Сле-
довательно, значения f (A) и f (B) могут обращаться в нуль лишь
одновременно, т. е. совокупности аннулирующих многочленов для A
и для B одинаковы. Из последнего обстоятельства вытекает совпа-
дение соответствующих м.а.м. ¤
  Основным результатом о минимальных аннулирующих многочле-
нах является следующая

  Теорема 29.1. 1. Минимальный аннулирующий многочлен для
жорданова ящика A = Jn (λ0 ) может быть определен по формуле

                            gA (λ) = (λ − λ0 )n .               (29.27)

   2. Пусть (n × n)-матрица A приводима к жордановой нормальной
форме, σ(A) = {λ1 , λ2 , ... , λs } — ее спектр. Для каждого харак-
теристического корня λi определим максимальный размер li среди
соответствующих ему жордановых ящиков.

Страницы