Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 351 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 351
Тогда минимальный аннулирующий многочлен для матрицы A
задается формулой:
g
A
(λ) = (λ − λ
1
)
l
1
(λ − λ
2
)
l
2
... (λ − λ
s
)
l
s
. (29.28)
Доказательство. 1. Докажем, что многочлен f(λ) = (λ − λ
0
)
n
является аннулирующим для матрицы A = J
n
(λ
0
) .
[Лишний раз подчеркнем, что обращение с многочленами от не-
скалярного аргумента требует внимания и осторожности.
Как подставить A в f(λ)? Можно ли делать это, "не раскрывая
скобки" (т. е. не возводя в степень)?
Да, но надо четко понимать, что эта возможность опирается на
правило "значение произведения многочленов на квадратной мат-
рице равно произведению значений".
В данном случае это правило применяется к степени: значение
для степени многочлена равняется степени значения исходного мно-
гочлена; см. п. 29.1 и, в частности, формулу (29.8).
Напомним также, что в этой и других аналогичных формулах
аргумент может быть как операторным, так и матричным.
Уже в следующем параграфе, при изучении многочленов с мат-
ричными коэффициентами, мы столкнемся с более сложной ситуа-
цией, когда правило о значении произведения перестанет быть спра-
ведливым.]
Итак,
f(A) = (A − λ
0
E)
n
= (λ
0
E + I
1
− λ
0
E)
n
= I
n
1
= O,
где I
1
= J
n
(0) — нильпотентная (с показателем n) матрица, пред-
ставленная в примере 29.1 в развернутой записи (29.17).
Значит, f(λ) является а.м. для A. М.а.м. для A обязан делить
f(λ). Однако все нетривиальные (нормализованные) делители f (λ)
имеют вид g(λ) = (λ − λ
0
)
k
, где 1 6 k < n.
Ни один из этих многочленов не является аннулирующим для A,
поскольку n есть показатель нильпотентности для I
1
(никакая
меньшая степень этой матрицы не является нулевой).
Следовательно, f(λ) = g
A
(λ) — м.а.м. для ж.я. A.
2. Пусть теперь A — произвольная матрица, приводимая к ж.н.ф.,
которую мы обозначим J. Согласно второму утверждению предложе-
ния 29.2, матрица A имеет такой же м.а.м., что и блочно-диагональ-
ная матрица J.
§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены                 351

  Тогда минимальный аннулирующий многочлен для матрицы A
задается формулой:

              gA (λ) = (λ − λ1 )l1 (λ − λ2 )l2 ... (λ − λs )ls .   (29.28)

  Доказательство. 1. Докажем, что многочлен f (λ) = (λ − λ0 )n
является аннулирующим для матрицы A = Jn (λ0 ) .
  [Лишний раз подчеркнем, что обращение с многочленами от не-
скалярного аргумента требует внимания и осторожности.
  Как подставить A в f (λ)? Можно ли делать это, "не раскрывая
скобки" (т. е. не возводя в степень)?
  Да, но надо четко понимать, что эта возможность опирается на
правило "значение произведения многочленов на квадратной мат-
рице равно произведению значений".
  В данном случае это правило применяется к степени: значение
для степени многочлена равняется степени значения исходного мно-
гочлена; см. п. 29.1 и, в частности, формулу (29.8).
  Напомним также, что в этой и других аналогичных формулах
аргумент может быть как операторным, так и матричным.
  Уже в следующем параграфе, при изучении многочленов с мат-
ричными коэффициентами, мы столкнемся с более сложной ситуа-
цией, когда правило о значении произведения перестанет быть спра-
ведливым.]
  Итак,

         f (A) = (A − λ0 E)n = (λ0 E + I1 − λ0 E)n = I1n = O,

где I1 = Jn (0) — нильпотентная (с показателем n) матрица, пред-
ставленная в примере 29.1 в развернутой записи (29.17).
   Значит, f (λ) является а.м. для A. М.а.м. для A обязан делить
f (λ). Однако все нетривиальные (нормализованные) делители f (λ)
имеют вид g(λ) = (λ − λ0 )k , где 1 6 k < n.
   Ни один из этих многочленов не является аннулирующим для A,
поскольку n есть показатель нильпотентности для I1 (никакая
меньшая степень этой матрицы не является нулевой).
   Следовательно, f (λ) = gA (λ) — м.а.м. для ж.я. A.
   2. Пусть теперь A — произвольная матрица, приводимая к ж.н.ф.,
которую мы обозначим J. Согласно второму утверждению предложе-
ния 29.2, матрица A имеет такой же м.а.м., что и блочно-диагональ-
ная матрица J.

Страницы