Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 353 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 353
Доказательство. Приведенное в начале пункта высказывание о
"простоте" доказательства (к изложению которого мы приступаем)
нуждается, к сожалению, в некотором уточнении.
Простое и строгое доказательство будет предъявлено лишь в ча-
стном случае: мы будем предполагать, что матрица A приводима к
ж.н.ф. (Если поле P алгебраически замкнуто, то к ж.н.ф. приводима
любая матрица.)
Наше рассуждение в общем случае будет опираться на (не дока-
зывавшийся в нашем курсе, но уже неоднократно использыванный)
факт существования алгебраического замыкания для произвольного
поля.
Итак, пусть A приводима к ж.н.ф. Согласно предложению 27.2,
это равносильно разложимости на линейные множители характери-
стического многочлена:
h
A
(λ) = (λ − λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
... (λ − λ
s
)
m
s
. (29.30)
В формуле (29.30) показатели степени m
i
суть не что иное как
алгебраические кратности для собственных значений λ
i
; их сумма
обязана равняться n.
Согласно теореме 29.1, в разложении на множители м.а.м. g
A
(λ)
в качестве показателей фигурируют размеры наибольших жордано-
вых ящиков (они же — показатели стабилизации) l
i
, которые, как
известно (см. § 26), не превышают m
i
.
Следовательно,
1) минимальный аннулирующий многочлен делит характеристи-
ческий многочлен:
g
A
(λ) |h
A
(λ); (29.31)
2) характеристический многочлен является аннулирующим, т. е.
имеет место равенство (29.29).
В частном случае теорема доказана.
Общий случай сводится к частному с помощью расширения основ-
ного поля P : мы переходим к алгебраическому замыканию P ⊃ P
(см. [A
1
, § 40]). Матрицу A можно рассматривать над этим, более
широким полем. То же самое относится и к характеристическому
многочлену h
A
(λ): его можно считать заданным над P .
В силу алгебраической замкнутости P , матрицу A можно над
этим полем привести к ж.н.ф. J. (Матрица J будет задана уже не
над P, но над P , однако это нас сейчас не интересует.)
§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены            353

   Доказательство. Приведенное в начале пункта высказывание о
"простоте" доказательства (к изложению которого мы приступаем)
нуждается, к сожалению, в некотором уточнении.
   Простое и строгое доказательство будет предъявлено лишь в ча-
стном случае: мы будем предполагать, что матрица A приводима к
ж.н.ф. (Если поле P алгебраически замкнуто, то к ж.н.ф. приводима
любая матрица.)
   Наше рассуждение в общем случае будет опираться на (не дока-
зывавшийся в нашем курсе, но уже неоднократно использыванный)
факт существования алгебраического замыкания для произвольного
поля.
   Итак, пусть A приводима к ж.н.ф. Согласно предложению 27.2,
это равносильно разложимости на линейные множители характери-
стического многочлена:

         hA (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ... (λ − λs )ms .   (29.30)

   В формуле (29.30) показатели степени mi суть не что иное как
алгебраические кратности для собственных значений λi ; их сумма
обязана равняться n.
   Согласно теореме 29.1, в разложении на множители м.а.м. gA (λ)
в качестве показателей фигурируют размеры наибольших жордано-
вых ящиков (они же — показатели стабилизации) li , которые, как
известно (см. § 26), не превышают mi .
   Следовательно,
   1) минимальный аннулирующий многочлен делит характеристи-
ческий многочлен:
                            gA (λ) | hA (λ);              (29.31)

   2) характеристический многочлен является аннулирующим, т. е.
имеет место равенство (29.29).
   В частном случае теорема доказана.
   Общий случай сводится к частному с помощью расширения основ-
ного поля P : мы переходим к алгебраическому замыканию P ⊃ P
(см. [A1 , § 40]). Матрицу A можно рассматривать над этим, более
широким полем. То же самое относится и к характеристическому
многочлену hA (λ): его можно считать заданным над P .
   В силу алгебраической замкнутости P , матрицу A можно над
этим полем привести к ж.н.ф. J. (Матрица J будет задана уже не
над P, но над P , однако это нас сейчас не интересует.)

Страницы