Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 355 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 355
Замечание 29.3. Чтобы развлечь и озадачить читателей, в неко-
торых учебниках (см., например, [26, с. 110]) приводится следующее
"глупое доказательство" теоремы 29.2: подставим в характеристиче-
ский многочлен h
A
(λ) = det(λE−A) вместо переменной λ матрицу A;
получим: h
A
(A) = det(A · E −A) = det(A − A) = det(O) = 0.
В чем именно состоит глупость этого "доказательства"?
Замечание 29.4. Трудно удержаться от хотя бы краткого рассказа
о счастливом детстве маленького Уильяма Гамильтона.
"ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (4.8.1805 — 2.9.1865) —
ирландский
математик, чл. Ирландской АН, чл.-кор. Петербургской АН. Ро-
дился в Дублине. В три года Г. умел читать, неплохо знал ариф-
метику и географию, в 10 лет стал студентом, к 12 годам он изу-
чил 12 языков. Достав латинский перевод "Начал" Евклида, он
изучил это сочинение; с 13 до 17 лет изучал И. Ньютона и П. Ла-
пласа, в 22 года стал профессором астрономии в Дублинском ун-те
и директором университетской астрономической обсерватории."
(А. И. Бородин, А. С. Бугай. "Биографический словарь деятелей в
области математики". Киев, Радянська школа, 1979)
Кто-то еще будет говорить о нынешней "акселерации"...
Замечание 29.5. Несколько слов о "присвоении имен теоремам и
формулам". Процесс этот ничем и никем не регламентирован, совер-
шенно не предсказуем и противоречив. Бывает (хотя и редко) так,
что традиция упорно связывает ту или иную теорему (формулу) с
именем ученого, который никогда ее не доказывал.
Гораздо чаще, однако, она закрепляет имена "по справедливости",
превыше всего оценивая первый шаг, т. е. "пионерские" работы.
Судите сами: У. Гамильтон опубликовал (в 1853 г) теорему 29.2
для случая (2 × 2)-матриц; вскоре другой известный (английский)
математик (и адвокат) А. Кэли сформулировал (но не доказал) ее
в полной общности. Доказательство же было получено немецким
математиком Ф. Г. Фробениусом лишь в 1878 г.
Права ли традиция, присваивая этой теореме имя Гамильтона?
Наверное, да.
Замечание 29.6. Обсудим вопрос о возможном совпадении мини-
мального и характеристического многочленов для квадратной мат-
рицы A (в предположении, что она приводима к ж.н.ф.).
Характеристический многочлен h
A
(λ) имеет степень n (совпада-
ющую с размером матрицы). Предположение о приводимости A к
§ 29   Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены         355

   Замечание 29.3. Чтобы развлечь и озадачить читателей, в неко-
торых учебниках (см., например, [26, с. 110]) приводится следующее
"глупое доказательство" теоремы 29.2: подставим в характеристиче-
ский многочлен hA (λ) = det(λE−A) вместо переменной λ матрицу A;
получим: hA (A) = det(A · E − A) = det(A − A) = det(O) = 0.
   В чем именно состоит глупость этого "доказательства"?

   Замечание 29.4. Трудно удержаться от хотя бы краткого рассказа
о счастливом детстве маленького Уильяма Гамильтона.
   "ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (4.8.1805 — 2.9.1865) — ирландский
математик, чл. Ирландской АН, чл.-кор. Петербургской АН. Ро-
дился в Дублине. В три года Г. умел читать, неплохо знал ариф-
метику и географию, в 10 лет стал студентом, к 12 годам он изу-
чил 12 языков. Достав латинский перевод "Начал" Евклида, он
изучил это сочинение; с 13 до 17 лет изучал И. Ньютона и П. Ла-
пласа, в 22 года стал профессором астрономии в Дублинском ун-те
и директором университетской астрономической обсерватории."
(А. И. Бородин, А. С. Бугай. "Биографический словарь деятелей в
области математики". Киев, Радянська школа, 1979)
   Кто-то еще будет говорить о нынешней "акселерации"...

  Замечание 29.5. Несколько слов о "присвоении имен теоремам и
формулам". Процесс этот ничем и никем не регламентирован, совер-
шенно не предсказуем и противоречив. Бывает (хотя и редко) так,
что традиция упорно связывает ту или иную теорему (формулу) с
именем ученого, который никогда ее не доказывал.
  Гораздо чаще, однако, она закрепляет имена "по справедливости",
превыше всего оценивая первый шаг, т. е. "пионерские" работы.
  Судите сами: У. Гамильтон опубликовал (в 1853 г) теорему 29.2
для случая (2 × 2)-матриц; вскоре другой известный (английский)
математик (и адвокат) А. Кэли сформулировал (но не доказал) ее
в полной общности. Доказательство же было получено немецким
математиком Ф. Г. Фробениусом лишь в 1878 г.
  Права ли традиция, присваивая этой теореме имя Гамильтона?
Наверное, да.

  Замечание 29.6. Обсудим вопрос о возможном совпадении мини-
мального и характеристического многочленов для квадратной мат-
рицы A (в предположении, что она приводима к ж.н.ф.).
  Характеристический многочлен hA (λ) имеет степень n (совпада-
ющую с размером матрицы). Предположение о приводимости A к

Страницы