Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 357 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 29 Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены 357
Пример 29.4. Рассмотрим теперь матрицу A из п. 2 прил. 1, на
которой мы опробовали процедуру-сценарий jord. Характеристиче-
ский многочлен для нее найден:
h
A
(λ) = (λ − 2)
5
(λ + 1)
6
.
Вычислены и показатели стабилизации: l
1
= 4; l
2
= 3. Следова-
тельно,
g
A
(λ) = (λ − 2)
4
(λ + 1)
3
.
Добавим, что в пакете LinearAlgebra системы Maple предусмотре-
на специальная команда для вычисления м.а.м.:
> MinimalPolinomial( A, lambda );
29.4.
∗
Функции от матриц. В пункте 29.1 мы определили зна-
чения многочленов от квадратных матриц (а также — от л.э.). Вве-
денное в п. 29.2 понятие минимального аннулирующего многочлена
позволяет (в случае, если м.а.м. g
A
(λ) известен) существенно упро-
стить вычисление значения f(A) для многочлена f ∈ P [λ].
В самом деле, можно произвести деление
f(λ) = g
A
(λ)q(λ) +
e
f(λ), (29.34)
где остаток
e
f(λ) — либо нулевой, либо имеет степень, меньшую l
[см. (29.32)], и тогда, в соответствии с матричной версией свойств
(29.6a) и (29.6b), окажется, что
f(A) = (g
A
q +
e
f)(A) = g
A
(A) · q(A) +
e
f(A) = O · q(A) +
e
f(A) =
e
f(A),
т. е.
f(A) =
e
f(A). (29.35)
Таким образом, дело сводится к вычислению значения на A мно-
гочлена, степень которого меньше, чем сумма всех показателей ста-
билизации (для A).
Если в качестве поля P фигурирует числовое поле R или C, то к
матрицам могут буть применены не только полиномиальные функ-
ции, но и многие другие, лишь бы они удовлетворяли некоторым
простым аналитическим условиям.
А именно, чтобы быть применимой к матрице A, функция f(λ)
должна быть определена, непрерывна и иметь производные до по-
рядка l
i
− 1 в каждой точке спектра λ
i
∈ σ(A).
§ 29    Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены                357

  Пример 29.4. Рассмотрим теперь матрицу A из п. 2 прил. 1, на
которой мы опробовали процедуру-сценарий jord. Характеристиче-
ский многочлен для нее найден:

                       hA (λ) = (λ − 2)5 (λ + 1)6 .

  Вычислены и показатели стабилизации: l1 = 4; l2 = 3. Следова-
тельно,
                   gA (λ) = (λ − 2)4 (λ + 1)3 .
  Добавим, что в пакете LinearAlgebra системы Maple предусмотре-
на специальная команда для вычисления м.а.м.:
   > MinimalPolinomial( A, lambda );

  29.4.∗ Функции от матриц. В пункте 29.1 мы определили зна-
чения многочленов от квадратных матриц (а также — от л.э.). Вве-
денное в п. 29.2 понятие минимального аннулирующего многочлена
позволяет (в случае, если м.а.м. gA (λ) известен) существенно упро-
стить вычисление значения f (A) для многочлена f ∈ P [λ].
  В самом деле, можно произвести деление

                       f (λ) = gA (λ)q(λ) + fe(λ),                 (29.34)

где остаток fe(λ) — либо нулевой, либо имеет степень, меньшую l
[см. (29.32)], и тогда, в соответствии с матричной версией свойств
(29.6a) и (29.6b), окажется, что

f (A) = (gA q + fe)(A) = gA (A) · q(A) + fe(A) = O · q(A) + fe(A) = fe(A),

т. е.
                              f (A) = fe(A).                       (29.35)
  Таким образом, дело сводится к вычислению значения на A мно-
гочлена, степень которого меньше, чем сумма всех показателей ста-
билизации (для A).
  Если в качестве поля P фигурирует числовое поле R или C, то к
матрицам могут буть применены не только полиномиальные функ-
ции, но и многие другие, лишь бы они удовлетворяли некоторым
простым аналитическим условиям.
  А именно, чтобы быть применимой к матрице A, функция f (λ)
должна быть определена, непрерывна и иметь производные до по-
рядка li − 1 в каждой точке спектра λi ∈ σ(A).

Страницы