Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 359 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 359
изложен в учебнике для первокурсников. Но идея его совсем про-
ста. Продемонстрируем ее на примере матричной экспоненты.
Обычная (числовая) экспонента (показательная функция) может
быть задана как сумма (сходящегося для всех значений аргумента)
степенного ряда
e
x
= 1 + x +
1
2!
x
2
+ ... +
1
k!
x
k
+ ... =
∞
X
k =0
x
k
k!
.
(Подробности см. в учебниках по математическому анализу; мы
приводили этот ряд — без какого-либо обоснования — в [A
1
, п. 34.3].)
Матричная экспонента определяется как сумма матричного сте-
пенного ряда
e
A
= E + A +
1
2!
A
2
+ ... +
1
k!
A
k
+ ... =
∞
X
k=0
A
k
k!
, (29.38)
про который доказывается, что он также сходится для любой мат-
рицы A.
Детальнее познакомиться с двумя упомянутыми (и другими) ме-
тодами построения теории функций от матриц можно по более по-
дробным учебникам (см., например, [7, 11, 16, 17]).
§
§
§ 30.
∗
Каноническая форма Смита
для полиномиальной матрицы
и ее применения
30.1. Матрицы над кольцом многочленов и алгебраиче-
ские действия над ними. Б´ольшая часть материала данного па-
раграфа сохраняет свою силу над любым евклидовым кольцом (что-
бы вспомнить, что это такое, обратитесь к п. 38.8 пособия [A
1
]). Од-
нако здесь мы не сможем рассматривать линейную алгебру в столь
общей и абстрактной ситуации. Это — задача более "продвинутых"
(специальных) курсов.
В классе евклидовых колец простейшим является кольцо целых
чисел Z, причем линейная алгебра над Z (или, как еще говорят, це-
лочисленная линейная алгебра) является интересной и богатой при-
ложениями наукой. В некоторых учебниках и монографиях, с тем
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 359

изложен в учебнике для первокурсников. Но идея его совсем про-
ста. Продемонстрируем ее на примере матричной экспоненты.
   Обычная (числовая) экспонента (показательная функция) может
быть задана как сумма (сходящегося для всех значений аргумента)
степенного ряда

                                             X xk   ∞
              x         1 2       1 k
             e = 1 + x + x + ... + x + ... =      .
                        2!        k!           k!
                                                   k=0


  (Подробности см. в учебниках по математическому анализу; мы
приводили этот ряд — без какого-либо обоснования — в [A1 , п. 34.3].)
  Матричная экспонента определяется как сумма матричного сте-
пенного ряда

                                         X Ak  ∞
         A          1 2       1 k
         e = E + A + A + ... + A + ... =      ,               (29.38)
                    2!        k!           k!
                                              k=0


про который доказывается, что он также сходится для любой мат-
рицы A.
  Детальнее познакомиться с двумя упомянутыми (и другими) ме-
тодами построения теории функций от матриц можно по более по-
дробным учебникам (см., например, [7, 11, 16, 17]).


                  ∗
             § 30. Каноническая форма Смита
              для полиномиальной матрицы
                    и ее применения

   30.1. Матрицы над кольцом многочленов и алгебраиче-
ские действия над ними. Бо́льшая часть материала данного па-
раграфа сохраняет свою силу над любым евклидовым кольцом (что-
бы вспомнить, что это такое, обратитесь к п. 38.8 пособия [A1 ]). Од-
нако здесь мы не сможем рассматривать линейную алгебру в столь
общей и абстрактной ситуации. Это — задача более "продвинутых"
(специальных) курсов.
   В классе евклидовых колец простейшим является кольцо целых
чисел Z, причем линейная алгебра над Z (или, как еще говорят, це-
лочисленная линейная алгебра) является интересной и богатой при-
ложениями наукой. В некоторых учебниках и монографиях, с тем

Страницы