Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 360 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

360 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
чтобы охватить два важнейших примера евклидовых колец (кольцо
целых чисел и кольцо многочленов над полем), изложение для этих
колец ведется параллельно.
В нашем обзоре такой подход также вряд ли приемлем. Стремясь
к лаконичности и информативности, мы ограничимся рассмотрени-
ем матричной алгебры над кольцом P [λ] многочленов (с коэффи-
циентами из поля P ). Но читатель должен иметь в виду, что из-
лагаемая теория является важнейшим, но все-таки лишь частным
разделом более разветвленной и многообразной науки — линейной
алгебры над коммутативными кольцами.
Полные доказательства приводимых фактов можно будет прочи-
тать в уже упоминавшихся курсах [11, 16, 17].
Будем рассматривать прямоугольные матрицы вида
A(λ) =
a
11
(λ) a
12
(λ) ... a
1n
(λ)
a
21
(λ) a
22
(λ) ... a
2n
(λ)
... ... ... ...
a
m1
(λ) a
m2
(λ) ... a
mn
(λ)
, (30.1)
где a
ij
(i = 1, ..., m; j = 1, ..., n) — многочлены над полем P (от
переменной λ).
Над такими матрицами (при обычных предположениях об их раз-
мерах) выполнимы обычные алгебраические действия: сложение,
умножение на скаляр (многочлен), умножение, транспонирование; с
сохранением всех законов матричной алгебры (i) — (xvii); см. п. 2.3
в пособии [A
1
].
Для квадратных матриц обычным образом (см. п. 23.1 в [A
1
])
вводится понятие определителя, причем остаются справедливыми
почти все основные свойства определителей: полилинейность, анти-
симметричность, теорема Лапласа, теорема об определителе блочно-
треугольной матрицы, мультипликативное свойство и др. (Фактиче-
ски мы уже неоднократно пользовались "полиномиальными обобще-
ниями" свойств определителя; см., например, пп. 17.1 и 22.1 настоя-
щего пособия.)
"Кольцевая" (в отличие от "полевой") специфика полиномиаль-
ной алгебры начинает проявляться при изучении вопроса об обра-
тимости квадратной матрицы с полиномиальными элементами.
Для обратимости (n×n)-матрицы A(λ) отнюдь не достаточно того,
чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица A(λ) обрати-
ма тогда и только тогда, когда ее определитель det(A(λ)) является
360    Спектральная теория линейных эндоморфизмов            Гл. 3

чтобы охватить два важнейших примера евклидовых колец (кольцо
целых чисел и кольцо многочленов над полем), изложение для этих
колец ведется параллельно.
   В нашем обзоре такой подход также вряд ли приемлем. Стремясь
к лаконичности и информативности, мы ограничимся рассмотрени-
ем матричной алгебры над кольцом P [λ] многочленов (с коэффи-
циентами из поля P ). Но читатель должен иметь в виду, что из-
лагаемая теория является важнейшим, но все-таки лишь частным
разделом более разветвленной и многообразной науки — линейной
алгебры над коммутативными кольцами.
   Полные доказательства приводимых фактов можно будет прочи-
тать в уже упоминавшихся курсах [11, 16, 17].
   Будем рассматривать прямоугольные матрицы вида
                                                   
                      a11 (λ) a12 (λ)   ... a1n (λ)
                     a (λ) a22 (λ)     ... a2n (λ) 
             A(λ) =  21                            ,       (30.1)
                        ...     ...     ...   ...
                      am1 (λ) am2 (λ)   ... amn (λ)

где aij (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n) — многочлены над полем P (от
переменной λ).
   Над такими матрицами (при обычных предположениях об их раз-
мерах) выполнимы обычные алгебраические действия: сложение,
умножение на скаляр (многочлен), умножение, транспонирование; с
сохранением всех законов матричной алгебры (i) — (xvii); см. п. 2.3
в пособии [A1 ].
   Для квадратных матриц обычным образом (см. п. 23.1 в [A1 ])
вводится понятие определителя, причем остаются справедливыми
почти все основные свойства определителей: полилинейность, анти-
симметричность, теорема Лапласа, теорема об определителе блочно-
треугольной матрицы, мультипликативное свойство и др. (Фактиче-
ски мы уже неоднократно пользовались "полиномиальными обобще-
ниями" свойств определителя; см., например, пп. 17.1 и 22.1 настоя-
щего пособия.)
   "Кольцевая" (в отличие от "полевой") специфика полиномиаль-
ной алгебры начинает проявляться при изучении вопроса об обра-
тимости квадратной матрицы с полиномиальными элементами.
   Для обратимости (n×n)-матрицы A(λ) отнюдь не достаточно того,
чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица A(λ) обрати-
ма тогда и только тогда, когда ее определитель det(A(λ)) является

Страницы