Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 362 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

362 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
(Для краткости зависимость от λ не показывается.)
"Настоящие" миноры выделяются тем, что мультииндексы I и J
являются строго возрастающими. В силу свойств определителей оче-
видны следующие свойства обобщенных миноров:
— в случае наличия (в числе выбранных) повторящихся строк или
столбцов обобщенный минор будет нулевым;
— если элементы любого из задействованных мультииндексов под-
вергнуть некоторой перестановке σ, то это повлечет умножение зна-
чения минора на sgn(σ).
Незаменимым инструментом в полиномиальной линейной алгебре
оказывается так называемая формула Бине — Коши (справедливая,
конечно, и в обычной ситуации, над полем), которая выражает мино-
ры для произведения матриц через миноры матриц-сомножителей.
Если
C
m×p
= A
m×n
· B
n×p
,
то для любого натурального s, не превышающего min(m, p), и для
любых двух строго упорядоченных мультииндексов, I [см. (30.3)] и
K = (k
1
k
2
... k
s
); k
γ
∈ {1, ..., p} (1 6 γ 6 p), (30.7)
справедливо равенство
C
µ
I
K
=
X
J
A
µ
I
J
· B
µ
J
K
, (30.8)
где суммирование ведется по всем строго упорядоченным мультиин-
дексам вида (30.4).
(При s > n таких мультииндексов J нет. Тогда оказывается, что
все миноры порядка s в матрице C являются нулевыми.)
Далее вводится (уже специфически кольцевое) понятие НОДМ’ов
(наибольших общих делителей всех миноров заданного порядка в
полиномиальной матрице A):
d
(A)
s
(λ) =
= НОД {A
µ
I
J
(λ) : I, J − мультииндексы длины s}, (30.9)
где s 6 min(m, n) и все НОД берутся в кольце многочленов P [λ],
причем — нормализованными (напомним, что благодаря последнему
условию они определены однозначно).
362     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

   (Для краткости зависимость от λ не показывается.)
   "Настоящие" миноры выделяются тем, что мультииндексы I и J
являются строго возрастающими. В силу свойств определителей оче-
видны следующие свойства обобщенных миноров:
   — в случае наличия (в числе выбранных) повторящихся строк или
столбцов обобщенный минор будет нулевым;
   — если элементы любого из задействованных мультииндексов под-
вергнуть некоторой перестановке σ, то это повлечет умножение зна-
чения минора на sgn(σ).
   Незаменимым инструментом в полиномиальной линейной алгебре
оказывается так называемая формула Бине — Коши (справедливая,
конечно, и в обычной ситуации, над полем), которая выражает мино-
ры для произведения матриц через миноры матриц-сомножителей.
   Если
                           C = A · B ,
                            m×p       m×n   n×p

то для любого натурального s, не превышающего min(m, p), и для
любых двух строго упорядоченных мультииндексов, I [см. (30.3)] и

             K = (k1 k2 ... ks ); kγ ∈ {1, ..., p} (1 6 γ 6 p),   (30.7)

справедливо равенство
                   µ ¶ X µ ¶     µ ¶
                      I     I     J
                 C      = A   ·B     ,                            (30.8)
                        K               J         K
                                  J

где суммирование ведется по всем строго упорядоченным мультиин-
дексам вида (30.4).
   (При s > n таких мультииндексов J нет. Тогда оказывается, что
все миноры порядка s в матрице C являются нулевыми.)
   Далее вводится (уже специфически кольцевое) понятие НОДМ’ов
(наибольших общих делителей всех миноров заданного порядка в
полиномиальной матрице A):

  d(A)
   s (λ) =
                 µ ¶
                  I
      = НОД {A         (λ) : I, J − мультииндексы длины s},       (30.9)
                  J


где s 6 min(m, n) и все НОД берутся в кольце многочленов P [λ],
причем — нормализованными (напомним, что благодаря последнему
условию они определены однозначно).

Страницы