Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 363 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 363

   Обратим внимание на то, что первый из НОДМ’ов, d(A)1 (λ), есть
не что иное, как НОД всех элементов матрицы A, и введем (по опре-
делению, с целью достижения единообразия в записи последующих
формул) нулевой НОДМ: d(A) 0 (λ) = 1.
   С помощью теоремы Лапласа о представлении определителя раз-
ложением по строке (столбцу) легко доказывается следующее свой-
ство НОДМ’ов:
                   d(A)
                    s−1 (λ) | ds (λ); s = 1, ... , r,
                               (A)
                                                          (30.10)

где r = rank(A(λ)).
   При r+1 6 s 6 min(m, n) все НОДМ’ы обращаются в нуль. Таким
образом, ранг матрицы (над кольцом многочленов) можно охаракте-
ризовать, как номер последнего ненулевого НОДМ’а.

   30.2. Каноническая форма Смита и эквивалентность по-
линомиальных матриц. Элементарные преобразования над стро-
ками и столбцами полиномиальной (m × n)-матрицы A = A(λ) типов
I — III определяются вполне аналогично случаю матриц над полем
(см. пп. 4.3 и 14.3 в пособии [A1 ]).
   Опишем преобразования над строками:
   I: iстр ↔ j стр ; i, j ∈ {1, ..., m}; i 6= j;
   II: iстр + j стр · c(λ); i, j ∈ {1, ..., m}; i 6= j; c(λ) ∈ P [λ];
   III: iстр · c; i ∈ {1, ..., m}; c ∈ P \ {0}.
   Для столбцов все точно так же. "Кольцевая специфика" просмат-
ривается в преобразованиях третьего типа: любую строку (любой
столбец) полиномиальной матрицы можно домножить на обрати-
мый многочлен, т. е. — на ненулевую константу.
   Две полиномиальные матрицы, A = A(λ) и B = B(λ), одинако-
вых размеров, называются эквивалентными [используется знакомое
обозначение: A(λ) ∼ B(λ)], если от одной из них можно перейти к
другой за конечное число шагов, каждый из которых является эле-
ментарным преобразованием над строками или столбцами одного из
трех описанных выше типов.
   Элементарные преобразования над строками (столбцами) (m×n)-
матрицы A(λ) могут быть реализованы как умножение этой мат-
рицы слева (справа) на соответствующие элементарные матрицы,
описание которых ничем (кроме того, что скалярами теперь служат
многочлены) не отличается от приведенного в пп. 14.3, 14.4 первого
пособия.