Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 365 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 365
Теорема 30.1 (теорема Смита). Всякая полиномиальная матри-
ца A(λ) ∈ Mat(m, n, P [λ]) эквивалентна однозначно определенной
матрице вида
S(λ) =
µ
1
(λ)
µ
2
(λ)
.
.
.
µ
r
(λ)
, (30.15)
где r = rank(A(λ)), а многочлены µ
s
(λ) = µ
(A)
s
(λ) (где s = 1, ... , r)
являются нормализованными, связаны соотношениями делимости
µ
s
(λ) |µ
s+1
(λ); s = 1, ... , r − 1 (30.16)
и могут быть выражены через НОДМ’ы:
µ
(A)
s
(λ) =
d
(A)
s
(λ)
d
(A)
s−1
(λ)
; s = 1, ... , r. (30.17)
Доказательство (набросок). Сразу введем терминологию, при-
нятую в теории полиномиальных матриц. Матрица (30.15) называ-
ется канонической формой Смита для данной матрицы A = A(λ).
Элементы, стоящие на ее диагонали, называются инвариантными
многочленами (или инвариантными множителями) (и.м.) для A.
Важнейшую часть доказательства теоремы составляет описание
алгоритма Смита, основанного на взаимодействии двух других ал-
горитмов (которые мы уже изучили и которые по праву считаются
основой всей алгебраической алгоритмики). Речь идет об алгоритме
Гаусса приведения матрицы к ступенчатому (и далее — скелетному)
виду и алгоритме Евклида вычисления наибольшего общего делите-
ля двух многочленов.
Подробно ознакомиться с алгоритмом Смита можно по уже упо-
мянутой в начале параграфа учебной литературе. К этому перечню
мы добавим здесь небольшую (но чрезвычайно насыщенную инфор-
мацией) книгу [18], содержащую весьма лаконичное доказательство
теоремы Смита. (Именно его — еще более краткий — пересказ при-
водится ниже.)
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 365

  Теорема 30.1 (теорема Смита). Всякая полиномиальная матри-
ца A(λ) ∈ Mat(m, n, P [λ]) эквивалентна однозначно определенной
матрице вида
                µ (λ)                                       
                  1
                      µ2 (λ)                                
                                  ..                        
                                       .                    
        S(λ) = 
               
                                                             ,
                                                                 (30.15)
                                           µr (λ)           
                                                            



где r = rank(A(λ)), а многочлены µs (λ) = µ(A)
                                           s (λ) (где s = 1, ... , r)
являются нормализованными, связаны соотношениями делимости

                   µs (λ) | µs+1 (λ); s = 1, ... , r − 1          (30.16)

и могут быть выражены через НОДМ’ы:

                               ds(A) (λ)
                   µ(A)
                    s (λ) =              ; s = 1, ... , r.        (30.17)
                               d(A)
                                s−1  (λ)


   Доказательство (набросок). Сразу введем терминологию, при-
нятую в теории полиномиальных матриц. Матрица (30.15) называ-
ется канонической формой Смита для данной матрицы A = A(λ).
Элементы, стоящие на ее диагонали, называются инвариантными
многочленами (или инвариантными множителями) (и.м.) для A.
   Важнейшую часть доказательства теоремы составляет описание
алгоритма Смита, основанного на взаимодействии двух других ал-
горитмов (которые мы уже изучили и которые по праву считаются
основой всей алгебраической алгоритмики). Речь идет об алгоритме
Гаусса приведения матрицы к ступенчатому (и далее — скелетному)
виду и алгоритме Евклида вычисления наибольшего общего делите-
ля двух многочленов.
   Подробно ознакомиться с алгоритмом Смита можно по уже упо-
мянутой в начале параграфа учебной литературе. К этому перечню
мы добавим здесь небольшую (но чрезвычайно насыщенную инфор-
мацией) книгу [18], содержащую весьма лаконичное доказательство
теоремы Смита. (Именно его — еще более краткий — пересказ при-
водится ниже.)

Страницы