Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 367 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 367
— либо, после получения очередного и.м. (и, с его помощью, ну-
левого окаймления), следующий юго-восточный блок окажется ну-
левым.
6. Алгоритм должен возвращать (m × n)-матрицу S = S(λ) —
каноническую форму Смита для A и две (сформировавшиеся по ходу
преобразований) обратимые квадратные полиномиальные матрицы:
(m ×m)-матрицу U = U(λ) и (n × n)-матрицу V = V (λ).
Соотношение S = UAV , а также требование постоянства и необ-
ращения в нуль определителей det(U) и det(V ), — могут быть ис-
пользованы для проверки адекватности результатов.
Описание алгоритма закончено. Для завершения доказательства
теоремы остается пояснить, что формулы (30.17) выводятся с ис-
пользованием инвариантности НОДМ’ов при элементарных преоб-
разованиях [см. (30.14)].
Эти формулы, в свою очередь, влекут инвариантность инвари-
антных многочленов (чем и оправдывается их название). ¤
Замечание 30.1. Случай матриц над полем P можно рассмотреть
в рамках теории для матриц над кольцом многочленов P [λ], считая
такие матрицы составленными из многочленов нулевой степени (и
нулей). Тогда теорема Смита сводится к теореме о приведении к
скелетному виду (см. четвертое утверждение теоремы 5.1 в первом
пособии): все и.м. в этом случае являются единичными и их коли-
чество равно рангу матрицы.
Замечание 30.2. Английский математик Генри Смит доказал (в
1861 г) теорему о приведении к канонической форме для матриц над
кольцом целых чисел. Теорема 30.1 для полиномиальных матриц
доказана лишь в 1878 г, все тем же (см. замечание 29.5) Ф. Г. Фро-
бениусом.
В отечественной учебной литературе имя Г. Смита долгое время
практически не упоминалось (нет его, в частности, и в трактате [11]).
В британской же традиции роль этого ученого в развитии матема-
тики оценивается довольно высоко. Оказывается, именно Г. Смит
построил первый в истории пример фрактала — канторово совер-
шенное множество, в 1875 г, за восемь лет до Кантора. (Вы пока
ничего не слышали об этом замечательном множестве? Не беда,
всему свое время.)
Замечание 30.3. В системе Maple предусмотрено несколько ва-
риантов функций, возвращающих для целочисленной или полино-
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 367

  — либо, после получения очередного и.м. (и, с его помощью, ну-
левого окаймления), следующий юго-восточный блок окажется ну-
левым.
  6. Алгоритм должен возвращать (m × n)-матрицу S = S(λ) —
каноническую форму Смита для A и две (сформировавшиеся по ходу
преобразований) обратимые квадратные полиномиальные матрицы:
(m × m)-матрицу U = U (λ) и (n × n)-матрицу V = V (λ).
  Соотношение S = U AV , а также требование постоянства и необ-
ращения в нуль определителей det(U ) и det(V ), — могут быть ис-
пользованы для проверки адекватности результатов.

   Описание алгоритма закончено. Для завершения доказательства
теоремы остается пояснить, что формулы (30.17) выводятся с ис-
пользованием инвариантности НОДМ’ов при элементарных преоб-
разованиях [см. (30.14)].
   Эти формулы, в свою очередь, влекут инвариантность инвари-
антных многочленов (чем и оправдывается их название). ¤
   Замечание 30.1. Случай матриц над полем P можно рассмотреть
в рамках теории для матриц над кольцом многочленов P [λ], считая
такие матрицы составленными из многочленов нулевой степени (и
нулей). Тогда теорема Смита сводится к теореме о приведении к
скелетному виду (см. четвертое утверждение теоремы 5.1 в первом
пособии): все и.м. в этом случае являются единичными и их коли-
чество равно рангу матрицы.
   Замечание 30.2. Английский математик Генри Смит доказал (в
1861 г) теорему о приведении к канонической форме для матриц над
кольцом целых чисел. Теорема 30.1 для полиномиальных матриц
доказана лишь в 1878 г, все тем же (см. замечание 29.5) Ф. Г. Фро-
бениусом.
   В отечественной учебной литературе имя Г. Смита долгое время
практически не упоминалось (нет его, в частности, и в трактате [11]).
В британской же традиции роль этого ученого в развитии матема-
тики оценивается довольно высоко. Оказывается, именно Г. Смит
построил первый в истории пример фрактала — канторово совер-
шенное множество, в 1875 г, за восемь лет до Кантора. (Вы пока
ничего не слышали об этом замечательном множестве? Не беда,
всему свое время.)
  Замечание 30.3. В системе Maple предусмотрено несколько ва-
риантов функций, возвращающих для целочисленной или полино-

Страницы