Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 369 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 369

из занумерованных неприводимых многочленов), в порядке невоз-
растания степеней записываются все э.д. (с данным неприводимым
многочленом в основании).
   В полученном списке могут быть повторения: каждый из э.д. по-
вторяется столько раз, в скольких разложениях он участвует.
   Итоговый список будем обозначать δ(A) и называть списком э.д.
для полиномиальной матрицы A.
   В случае алгебраической замкнутости поля P неприводимыми
являются лишь линейные многочлены, а неприводимые и нормали-
зованные многочлены имеют вид λ − λ0 и отвечают корням инвари-
антных многочленов. Элементарные делители в этом случае будут
иметь вид (λ − λ0 )k , где k — кратность λ0 как корня соответствую-
щего и.м.
  Пример 30.1. Продемострируем переход от списка µ(A) к спис-
ку δ(A). Пусть и.м. уже разложены на неприводимые (линейные)
множители:

       µ(A) = [ 1,   λ−1, (λ+1)2 (λ−1), (λ+1)2 (λ−1)3 , (λ+1)3 (λ−1)3 (λ−2)2 ].


  Прежде всего заметим, что ранг r = 5. Затем, группируя по невоз-
растанию степеней примарные множители, выпишем список э.д.:

                       δ(A) = [ (λ+1)3 ,   (λ+1)2 , (λ+1)2 ;

                                 (λ−1)3 , (λ−1)3 , (λ−1), (λ−1);

                                 (λ+2)2 ].


   Обратный переход осуществим, если заранее задан ранг, который
не должен быть ниже наибольшей из длин групп (в данном примере
самая длинная из групп содержит четыре э.д.).
   Если, дополнительно к списку δ(A), задан ранг r = 5, то список
и.м. восстанавливается, начиная с последнего:
   — µ(A)
        5 (λ) должно равняться произведению всех начальных эле-
ментов во всех группах э.д.;
   — µ(A)
       4 (λ) найдется как произведение всех вторых элементов;
   — µ(A)
       3 (λ) — всех третьих;
       (A)
   — µ2 (λ) — всех четвертых (в данном примере такой элемент все-
го один);
   — µ(A)
       1 (λ) мы должны взять равным единице, поскольку все э.д.
кончились.