Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 370 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

370 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Уточним еще одно обстоятельство: матрица S(λ) восстанавлива-
ется по и.м. или э.д., если, помимо фиксации ранга r, заданы раз-
меры (m и n) этой матрицы (каждый из которых, естественно, не
должен быть меньше r).
И, наконец, сформулируем теорему, объединяющую условия, рав-
носильные эквивалентности полиномиальных матриц.
Теорема 30.2. Пусть A = A(λ) и B = B(λ) являются полиноми-
альными матрицами одного и того же размера m × n.
Следующие шесть утверждений равносильны:
(1) матрицы A и B эквивалентны, т. е. могут быть связаны цепоч-
кой элементарных преобразований;
(2) найдутся обратимые полиномиальные матрицы U = U(λ) и
V (λ), размеров m ×m и n ×n соответственно, такие, что выполнено
соотношение (30.12);
(3) матрицы A и B могут быть приведены к одной и той же кано-
нической форме Смита;
(4) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые списки
НОДМ’ов;
(5) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые спис-
ки и.м.;
(6) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые (с точ-
ностью до порядка групп) списки э.д.
Доказательство. Многие импликации, необходимые для установ-
ления равносильности утверждений (1) — (6), уже доказаны выше.
За подробностями мы отсылаем читателя к ранее указанным учебни-
кам. Отметим также, что в (простейшем) случае матриц над полем
данная теорема сводится к предложению 14.3 из [A
1
]. ¤
30.3. Квадратные матрицы над кольцом многочленов и
их представление в виде многочленов с матричными коэф-
фициентами. Обратимся теперь к алгебре квадратных матриц
A(λ) =
a
11
(λ) a
12
(λ) ... a
1n
(λ)
a
21
(λ) a
22
(λ) ... a
2n
(λ)
... ... ... ...
a
n1
(λ) a
n2
(λ) ... a
nn
(λ)
(30.20)
фиксированного размера n × n, с элементами из кольца многочле-
нов P [λ]. Обозначим
m = max{deg(a
ij
(λ)) |1 6 i, j 6 n } (30.21)
370    Спектральная теория линейных эндоморфизмов           Гл. 3

   Уточним еще одно обстоятельство: матрица S(λ) восстанавлива-
ется по и.м. или э.д., если, помимо фиксации ранга r, заданы раз-
меры (m и n) этой матрицы (каждый из которых, естественно, не
должен быть меньше r).

  И, наконец, сформулируем теорему, объединяющую условия, рав-
носильные эквивалентности полиномиальных матриц.

   Теорема 30.2. Пусть A = A(λ) и B = B(λ) являются полиноми-
альными матрицами одного и того же размера m × n.
   Следующие шесть утверждений равносильны:
   (1) матрицы A и B эквивалентны, т. е. могут быть связаны цепоч-
кой элементарных преобразований;
   (2) найдутся обратимые полиномиальные матрицы U = U (λ) и
V (λ), размеров m × m и n × n соответственно, такие, что выполнено
соотношение (30.12);
   (3) матрицы A и B могут быть приведены к одной и той же кано-
нической форме Смита;
   (4) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые списки
НОДМ’ов;
   (5) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые спис-
ки и.м.;
   (6) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые (с точ-
ностью до порядка групп) списки э.д.
  Доказательство. Многие импликации, необходимые для установ-
ления равносильности утверждений (1) — (6), уже доказаны выше.
За подробностями мы отсылаем читателя к ранее указанным учебни-
кам. Отметим также, что в (простейшем) случае матриц над полем
данная теорема сводится к предложению 14.3 из [A1 ]. ¤

  30.3. Квадратные матрицы над кольцом многочленов и
их представление в виде многочленов с матричными коэф-
фициентами. Обратимся теперь к алгебре квадратных матриц
                                                
                     a11 (λ) a12 (λ) ... a1n (λ)
                    a (λ) a22 (λ) ... a2n (λ) 
            A(λ) =  21                             (30.20)
                       ...     ...   ...   ...
                     an1 (λ) an2 (λ) ... ann (λ)
фиксированного размера n × n, с элементами из кольца многочле-
нов P [λ]. Обозначим
                m = max{deg(aij (λ)) | 1 6 i, j 6 n }      (30.21)

Страницы