Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 372 стр.

372    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

"падение степени". Действительно, произведение Cm+l = Am Bl двух
ненулевых матриц вполне может оказаться нулевым.
   Ситуация исправляется, если хотя бы один из двух сомножителей
имеет обратимый старший коэффициент (такие матричные много-
члены называются регулярными). В этом случае действует привыч-
ное правило: "степень произведения равна сумме степеней".
   (Взгляните еще раз на матричный многочлен из примера 30.2.
Регулярным он, очевидно, не является.)
   Частным случаем регулярных матричных многочленов являются
нормализованные матричные многочлены, старшим коэффициентом
у которых служит единичная матрица.
   Два облика, (30.20) и (30.22), одного и того же объекта A(λ) ока-
зываются идеально согласованными. Произведение A(λ)B(λ) можно
вычислять
   — либо как матричное произведение, в предположении, что мат-
ричные элементы перемножаются как многочлены;
   — либо как произведение многочленов, в предположении, что ко-
эффициенты многочленов перемножаются как матрицы.
   Результат будет один и тот же.
   Оговорим еще одну условность, связанную с матричными много-
членами. Переменная λ в формуле (30.22) располагается справа от
матричных коэффицинтов. Договоримся, что ее можно располагать
и слева от них, считая запись

        A(λ) = λm A0 + λm−1 A1 + ... + λAm−1 + Am ,          (30.220 )

равносильной записи (30.22).
  У такой договоренности есть косвенная мотивировка: скалярная
переменная λ трактуется как матричная переменная λE. Напомним,
что матрицы такого типа как раз принято именовать скалярными
матрицами и что они коммутируют с любыми матрицами.
  Обычному (скалярному) многочлену

             a(λ) = a0 λm + a1 λm−1 + ... + am−1 λ + am      (30.25)

можно сопоставить матричный многочлен

  A(λ) = a(λ)E =
      = (a0 E)λm + (a1 E)λm−1 + ... + (am−1 E)λ + (am E),   (30.25m)

все коэффициенты которого являются скалярными матрицами.