Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 374 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

374 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Легко подобрать матрицы-коэффициенты так, чтобы равенство
A
0
B
0
C
2
= A
0
CB
0
C оказалось ложным.
Ясно, однако, что для многочленов вида (30.25m) соотношение
(30.27) справедливо (и, как уже объяснялось, стрелочки в нем не
нужны).
Из материала первого семестра (см. [A
1
, §§ 37, 38, 45]) нам извест-
но, какую большую роль в теории многочленов играет деление с
остатком. В случае многочленов над полем любой многочлен можно
(однозначно) поделить с остатком на любой ненулевой многочлен;
в случае многочленов над кольцом добавляется (см. замечание 37.2
в [A
1
]) условие: старший коэффициент делителя должен быть обра-
тимым.
Примерно так же обстоит дело для матричных многочленов: на-
до требовать, чтобы делитель был регулярным многочленом. Одна-
ко некоммутативность матричного умножения приводит к тому, что
определены два различных деления с остатком: правое и левое.
Переходим к точным формулировкам. Для любых двух матрич-
ных многочленов, A(λ) (степени m) и B(λ) (степени l), в предполо-
жении, что A(λ) регулярен (т. е. его старший коэффициент A
0
яв-
ляется обратимой матрицей), существуют и однозначно определены
матричные многочлены:
—
→
Q(λ) (называемый правым неполным частным);
—
→
R(λ) (называемый правым остатком и — либо нулевой, либо
имеющий степень, меньшую m);
—
←
Q(λ) (называемый левым неполным частным);
—
←
R(λ) (называемый левым остатком и — либо нулевой, либо име-
ющий степень, меньшую m),
такие, что справедливы (соответственно) равенства:
B(λ) =
→
Q(λ)A(λ) +
→
R(λ); (30.28)
B(λ) = A(λ)
←
Q(λ) +
←
R(λ). (30.28
0
)
Обратите внимание на то, что правое частное пишется слева.
В этом нет ничего удивительного, поскольку справа пишется правый
делитель. (Со второй формулой — все "с точностью до наоборот".)
374       Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

   Легко подобрать матрицы-коэффициенты так, чтобы равенство
A0 B0 C 2 = A0 CB0 C оказалось ложным.

   Ясно, однако, что для многочленов вида (30.25m) соотношение
(30.27) справедливо (и, как уже объяснялось, стрелочки в нем не
нужны).
   Из материала первого семестра (см. [A1 , §§ 37, 38, 45]) нам извест-
но, какую большую роль в теории многочленов играет деление с
остатком. В случае многочленов над полем любой многочлен можно
(однозначно) поделить с остатком на любой ненулевой многочлен;
в случае многочленов над кольцом добавляется (см. замечание 37.2
в [A1 ]) условие: старший коэффициент делителя должен быть обра-
тимым.
   Примерно так же обстоит дело для матричных многочленов: на-
до требовать, чтобы делитель был регулярным многочленом. Одна-
ко некоммутативность матричного умножения приводит к тому, что
определены два различных деления с остатком: правое и левое.
   Переходим к точным формулировкам. Для любых двух матрич-
ных многочленов, A(λ) (степени m) и B(λ) (степени l), в предполо-
жении, что A(λ) регулярен (т. е. его старший коэффициент A0 яв-
ляется обратимой матрицей), существуют и однозначно определены
матричные многочлены:
      →
  — Q(λ) (называемый правым неполным частным);
      →
  — R(λ) (называемый правым остатком и — либо нулевой, либо
имеющий степень, меньшую m);
      ←
  — Q(λ) (называемый левым неполным частным);
      ←
  — R(λ) (называемый левым остатком и — либо нулевой, либо име-
ющий степень, меньшую m),
такие, что справедливы (соответственно) равенства:

                              →           →
                      B(λ) = Q(λ)A(λ) + R(λ);                   (30.28)

                                   ←      ←
                      B(λ) = A(λ)Q(λ) + R(λ).                  (30.280 )

   Обратите внимание на то, что правое частное пишется слева.
В этом нет ничего удивительного, поскольку справа пишется правый
делитель. (Со второй формулой — все "с точностью до наоборот".)

Страницы