Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 376 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

376 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
2. Двучлен Eλ − A является правым (левым) делителем мат-
ричного многочлена F (λ) тогда и только тогда, когда правое значе-
ние F (
→
A) (левое значение F (
←
A)) данного многочлена на матрице A
является нулевой матрицей. В формульной записи:
[ Eλ − A
→
| F (λ) ] ⇔ [ F (
→
A) = O ]; (30.33)
[ Eλ − A
←
| F (λ) ] ⇔ [ F (
←
A) = O ]. (30.33
0
)
Доказательство данной теоремы довольно поучительно ввиду на-
личия некоторых "ложных следов". Начало рассуждения совершен-
но очевидно: согласно общим результатам о делении матричных мно-
гочленов, при правом делении F (λ) на Eλ − A получится (правый)
остаток, являющийся постоянной матрицей:
F (λ) =
→
Q(λ)(Eλ − A) + R
0
. (30.34)
Теперь, как и в скалярном случае (см. п. 39.2 в первом пособии), в
формулу (30.34) следует вместо переменной λ подставить матрицу A
и учесть при этом, что значение на A двучлена Eλ−A равно нулевой
матрице.
Однако, в отличие от скалярной ситуации, для правого (или ле-
вого) значения матричных многочленов перестает быть справедли-
вым правило "значение произведения равно произведению значе-
ний". Значит, скалярное рассуждение не пройдет. Что делать?
Надо "честно" перемножить правое частное
→
Q(λ), являющееся
матричным многочленом степени m−1, и линейный двучлен Eλ−A:
→
Q(λ) (Eλ−A) = (Q
0
λ
m−1
+Q
1
λ
m−2
+...+Q
m−2
λ+Q
m−1
)(Eλ−A) =
= Q
0
λ
m
+ (Q
1
− Q
0
A)λ
m−1
+ ... + (Q
m−1
− Q
m−2
A)λ − Q
m−1
A,
а затем вычислить правое значение произведения на матрице A и
убедиться, что оно равно нулевой матрице. Отсюда можно будет
заключить, что правое значение левой части равенства (30.34) на
матрице A совпадает с постоянной матрицей R
0
.
Остальное все — как в скалярном случае. ¤
Между прочим, из матричной теоремы Безу легко вывести теоре-
му Гамильтона — Кэли (см. теорему 29.2 выше).
376     Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

  2. Двучлен Eλ − A является правым (левым) делителем мат-
ричного многочлена F (λ) тогда и только тогда, когда правое значе-
      →                        ←
ние F (A) (левое значение F (A)) данного многочлена на матрице A
является нулевой матрицей. В формульной записи:
                           →               →
                  [ Eλ − A | F (λ) ] ⇔ [ F (A) = O ];         (30.33)
                           ←               ←
                  [ Eλ − A | F (λ) ] ⇔ [ F (A) = O ].        (30.330 )

   Доказательство данной теоремы довольно поучительно ввиду на-
личия некоторых "ложных следов". Начало рассуждения совершен-
но очевидно: согласно общим результатам о делении матричных мно-
гочленов, при правом делении F (λ) на Eλ − A получится (правый)
остаток, являющийся постоянной матрицей:
                            →
                    F (λ) = Q(λ)(Eλ − A) + R0 .               (30.34)

   Теперь, как и в скалярном случае (см. п. 39.2 в первом пособии), в
формулу (30.34) следует вместо переменной λ подставить матрицу A
и учесть при этом, что значение на A двучлена Eλ−A равно нулевой
матрице.
   Однако, в отличие от скалярной ситуации, для правого (или ле-
вого) значения матричных многочленов перестает быть справедли-
вым правило "значение произведения равно произведению значе-
ний". Значит, скалярное рассуждение не пройдет. Что делать?
                                                    →
  Надо "честно" перемножить правое частное Q(λ), являющееся
матричным многочленом степени m−1, и линейный двучлен Eλ−A:
  →
  Q(λ) (Eλ−A) = (Q0 λm−1 +Q1 λm−2 +...+Qm−2 λ+Qm−1 )(Eλ−A) =
  = Q0 λm + (Q1 − Q0 A)λm−1 + ... + (Qm−1 − Qm−2 A)λ − Qm−1 A,

а затем вычислить правое значение произведения на матрице A и
убедиться, что оно равно нулевой матрице. Отсюда можно будет
заключить, что правое значение левой части равенства (30.34) на
матрице A совпадает с постоянной матрицей R0 .
   Остальное все — как в скалярном случае. ¤
  Между прочим, из матричной теоремы Безу легко вывести теоре-
му Гамильтона — Кэли (см. теорему 29.2 выше).

Страницы