Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 377 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 377

   Рассмотрим (скалярный) характеристический многочлен
       hA (λ) = det(Eλ − A) = λn + c1 λn−1 + ... + cn−1 λ + cn    (30.35)
для (n × n)-матрицы A и превратим его в матричный многочлен
                             H(λ) = hA (λ)E.                     (30.35m)
   Далее рассмотрим матрицу (Eλ − A)∨ , присоединенную к харак-
теристической; она также будет полиномиальной, степени n − 1 по λ
(поскольку составлена из алгебраических дополнений к элементам
полиномиальной матрицы). Воспользуемся свойством (30.2):
   (Eλ − A)∨ · (Eλ − A) = det(Eλ − A) · E = h(λ)E = H(λ).         (30.36)
  Из (30.36) следует, что двучлен Eλ−A является правым (а можно
заметить, что и левым) делителем матричного многочлена (30.35m).
По теореме Безу, правое значение этого многочлена на матрице A
должно равняться нулю. Но многочлен (30.35m) произошел от ска-
лярного многочлена (30.35) и его значение (все равно: правое или
левое) на матрице A совпадает со значением на A скалярного мно-
гочлена (30.35).
  Тем самым доказано равенство hA (A) = O, составляющее содер-
жание теоремы Гамильтона — Кэли.
   Замечание 30.4. Maple оперативно реагирует на вновь возникаю-
щие потребности вычислительной алгебры. Так, в последних верси-
ях системы появился новый пакет MatrixPolynomialAlgebra, который
умеет выполнять с матричными многочленами все, что описано (или
упомянуто) выше (например, вычислять НОлД’ы и НОпД’ы.)

  30.4. Подобие квадратных матриц (над полем) и экви-
валентность их характеристических матриц (над кольцом
многочленов). В предыдущем пункте на арене матричной поли-
номиальной алгебры уже появились линейные матричные двучлены
вида Eλ − A. Каждый такой двучлен связан с некоторой квадрат-
ной матрицей A ∈ L(n, P ), и, как мы покажем в данном пункте, эта
связь весьма интересна с точки зрения спектральной теории.
  Следующая теорема служит своего рода "мостом" между алгеб-
рой квадратных матриц над полем, в которой наибольший интерес
представляет выявление критериев подобия, и алгеброй полиноми-
альных квадратных матриц, где основным рабочим инструментом
служат эквивалентные преобразования матриц, т. е. элементарные
преобразования над их строками и столбцами.