Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 379 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 379
является левым значением матричного многочлена W (λ) на матри-
це A, а
N
0
= V (
→
B) (30.44)
— правым значением V (λ) на B.
Подставляя выражения (30.41) и (30.42) в равенство (30.40) и пе-
рераспределяя члены по разным стронам этого равенства, мы при-
дем к соотношению
(Eλ − A)(W
1
(λ) − V
1
(λ))(Eλ − B) =
= −M
0
(Eλ − A) + (Eλ − A)N
0
. (30.45)
В правой части (30.45) стоит матричный многочлен степени, не
превышающей единицы; в левой — произведение трех матричных
многочленов, два из которых (крайние) являются регулярными ли-
нейными двучленами. Если бы средний сомножитель в левой части
был отличен от нуля, то вся левая часть имела бы степень не ниже
двух, и равенство было бы невозможным.
Выходит, что
W
1
(λ) = V
1
(λ), (30.47)
и равенство (30.45) сводится к
M
0
(Eλ − A) = (Eλ − A)N
0
. (30.48)
Раскрывая скобки в (30.48) и приравнивая члены при первой и
нулевой степенях λ, мы получим соотношения:
M
0
= N
0
; (30.49)
M
0
B = AN
0
. (30.50)
Будь нам известно, что матрица M
0
обратима, мы немедленно
получили бы из (30.49) и (30.50) соотношение подобия (30.37), с со-
прягающей матрицей
T = M
0
= N
0
= V (
→
B). (30.51)
Значит, нам следует заняться доказательством обратимости M
0
.
В силу определения W (λ), имеет место равенство
E = W (λ)U(λ). (30.52)
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 379

является левым значением матричного многочлена W (λ) на матри-
це A, а
                                    →
                            N0 = V (B)                      (30.44)
— правым значением V (λ) на B.
  Подставляя выражения (30.41) и (30.42) в равенство (30.40) и пе-
рераспределяя члены по разным стронам этого равенства, мы при-
дем к соотношению

  (Eλ − A)(W1 (λ) − V1 (λ))(Eλ − B) =
                           = −M0 (Eλ − A) + (Eλ − A)N0 . (30.45)

  В правой части (30.45) стоит матричный многочлен степени, не
превышающей единицы; в левой — произведение трех матричных
многочленов, два из которых (крайние) являются регулярными ли-
нейными двучленами. Если бы средний сомножитель в левой части
был отличен от нуля, то вся левая часть имела бы степень не ниже
двух, и равенство было бы невозможным.
  Выходит, что
                         W1 (λ) = V1 (λ),                 (30.47)
и равенство (30.45) сводится к

                    M0 (Eλ − A) = (Eλ − A)N0 .              (30.48)

  Раскрывая скобки в (30.48) и приравнивая члены при первой и
нулевой степенях λ, мы получим соотношения:

                            M0 = N0 ;                       (30.49)

                           M0 B = AN0 .                     (30.50)
  Будь нам известно, что матрица M0 обратима, мы немедленно
получили бы из (30.49) и (30.50) соотношение подобия (30.37), с со-
прягающей матрицей
                                            →
                      T = M0 = N0 = V (B).                  (30.51)

   Значит, нам следует заняться доказательством обратимости M0 .
   В силу определения W (λ), имеет место равенство

                          E = W (λ)U (λ).                   (30.52)

Страницы