Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 380 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

380 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Снова применяя матричную теорему Безу, поделим U(λ) слева
на Eλ − B:
U(λ) = (Eλ − B)U
1
(λ) + K
0
, (30.53)
где
K
0
= U(
←
B). (30.54)
Подставляя выражения (30.41) и (30.53) в (30.52), раскрывая скоб-
ки и пользуясь равенствами (30.48), (30.49), (30.42) и (30.47) [именно
в таком порядке], мы получим следующую цепочку преобразований:
E =
¡
(Eλ − A)W
1
(λ) + M
0
¢
·
¡
(Eλ − B)U
1
(λ) + K
0
¢
=
= (Eλ − A)W
1
(λ)(Eλ − B)U
1
(λ) +
+ (Eλ − A)W
1
(λ)K
0
+ M
0
(Eλ − B)U
1
(λ) + M
0
K
0
=
= M
0
K
0
+ (Eλ − A)W
1
(λ)(Eλ − B)U
1
(λ)+
+ (Eλ − A)W
1
(λ)K
0
+ (Eλ − A)M
0
U
1
(λ) =
= M
0
K
0
+ (Eλ − A)F (λ), (30.55)
где
F (λ) = W
1
(λ)(Eλ − B)U
1
(λ) + W
1
(λ)K
0
+ M
0
U
1
(λ) =
=
¡
W
1
(λ)(Eλ − B) + M
0
¢
U
1
(λ) + W
1
(λ)K
0
=
= W (λ)U
1
(λ) + W
1
(λ)K
0
. (30.56)
Замечаем, что равенство (30.55) было бы невозможным в слу-
чае ненулевого матричного многочлена (30.56), ибо тогда его правая
часть имела бы степень не ниже первой, в то время как левая —
имеет нулевую степень.
Значит, F (λ) = O и (30.55) сводится к
E = M
0
K
0
. (30.57)
Обратимость матрицы M
0
доказана.
Окончательный вывод: эквивалентность (30.39) характеристиче-
ских матриц для матриц A и B влечет подобие (30.37) для самих
этих матриц; в качестве сопрягающей матрицы T можно выбрать
правое значение (30.51). ¤
380     Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

  Снова применяя матричную теорему Безу, поделим U (λ) слева
на Eλ − B:
                 U (λ) = (Eλ − B)U1 (λ) + K0 ,        (30.53)
где
                                     ←
                             K0 = U (B).                       (30.54)
   Подставляя выражения (30.41) и (30.53) в (30.52), раскрывая скоб-
ки и пользуясь равенствами (30.48), (30.49), (30.42) и (30.47) [именно
в таком порядке], мы получим следующую цепочку преобразований:
     ¡                   ¢ ¡                   ¢
  E = (Eλ − A)W1 (λ) + M0 · (Eλ − B)U1 (λ) + K0 =
        = (Eλ − A)W1 (λ)(Eλ − B)U1 (λ) +
        + (Eλ − A)W1 (λ)K0 + M0 (Eλ − B)U1 (λ) + M0 K0 =
             = M0 K0 + (Eλ − A)W1 (λ)(Eλ − B)U1 (λ)+
              + (Eλ − A)W1 (λ)K0 + (Eλ − A)M0 U1 (λ) =
                                  = M0 K0 + (Eλ − A)F (λ),     (30.55)

где

  F (λ) = W1 (λ)(Eλ − B)U1 (λ) + W1 (λ)K0 + M0 U1 (λ) =
               ¡                    ¢
           = W1 (λ)(Eλ − B) + M0 U1 (λ) + W1 (λ)K0 =
                                   = W (λ)U1 (λ) + W1 (λ)K0 . (30.56)

  Замечаем, что равенство (30.55) было бы невозможным в слу-
чае ненулевого матричного многочлена (30.56), ибо тогда его правая
часть имела бы степень не ниже первой, в то время как левая —
имеет нулевую степень.
  Значит, F (λ) = O и (30.55) сводится к

                             E = M 0 K0 .                      (30.57)

  Обратимость матрицы M0 доказана.
  Окончательный вывод: эквивалентность (30.39) характеристиче-
ских матриц для матриц A и B влечет подобие (30.37) для самих
этих матриц; в качестве сопрягающей матрицы T можно выбрать
правое значение (30.51). ¤

Страницы