Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 381 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 381

   30.5. Инвариантные многочлены и элементарные дели-
тели для квадратных матриц над полем. Критерий подо-
бия. Как следует из теоремы 30.4, задача о подобии квадратных
матриц над полем сводится к задаче об эквивалентности соответ-
ствующих характеристических матриц над кольцом многочленов,
которая, в свою очередь, в силу теоремы 30.2, сводится к сравне-
нию либо инвариантных многочленов, либо элементарных делите-
лей для характеристических матриц. В связи с этим нам предстоит
применить материал п. 30.2 в специальном случае, когда полино-
миальные матрицы имеют вид нормализованных линейных двучле-
нов C(λ) = Eλ − A.
   Прежде всего отметим, что характеристическая матрица всегда
невырожденна, т. е. rank(C(λ)) = n (над кольцом многочленов P [λ]).
В самом деле, старший НОДМ для C(λ) есть не что иное, как ха-
рактеристический многочлен для A:

                               d(C)
                                n (λ) = hA (λ).                         (30.58)

   (Имеется лишь один минор n-го порядка, совпадающий с опре-
делителем матрицы C(λ). Определитель этот имеет степень n по λ
и, разумеется, отличен от нуля. Напомним, что в случае матриц
над кольцом невырожденность отнюдь не влечет обратимость. Для
обратимости матрицы нужно, чтобы ее определитель являлся нену-
левой константой.)
   Далее, условимся о сопоставлении (постоянной) матрице A по-
линомиальных характеристик (таких как и.м. и э.д.), вычисляемых
по соответствующей характеристической матрице. Другим словами,
мы будем говорить об инвариантных многочленах (элементарных де-
лителях) для A, понимая под этим и.м. (э.д.) для C = C(λ). Напри-
мер, "список и.м. µ(A)" надо понимать (и вычислять) как "список
и.м. µ(C)".
   Перемножив все n и.м. для A, с учетом формул (30.17), получим:

  µ(A)      (A)            (A)
   1 (λ) · µ2 (λ) · ... · µn−1 (λ) · µn (λ) =
                                      (A)



                  (A)        d(A)
                              2 (λ)        d(A)
                                            n−1 (λ)   d(A)
                                                       n (λ)
              = d1      (λ) · (A)   · ... · (A)     · (A)    =
                             d1 (λ)        dn−2 (λ) dn−1 (λ)
                                                = dn(A) (λ) = hA (λ),   (30.59)

т. е. произведение всех и.м. равно характеристическому многочлену.