Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 383 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 383
Для обоснования того факта, что матрица J служит ж.н.ф. для
A, досточно найти э.д. для J и убедиться в том, что они такие же,
как у данной матрицы.
Делается это в два этапа.
1. Сначала доказывается вспомогательный результат: список э.д.
для блочно-диагональной матрицы может быть получен объедине-
нием соответствующих списков для диагональных блоков.
2. Затем, рассмотрев НОДМ’ы для характеристической матрицы
Eλ − H =
λ − λ
i
−1
λ − λ
i
−1
.
.
.
.
.
.
λ − λ
i
−1
λ − λ
i
, (30.62)
отвечающей одному жорданову ящику H = J
k
(λ
i
) , мы обнаружи-
ваем, что все они равны единице, кроме последнего, равного (λ−λ
i
)
k
.
(Дело в том, что для любого порядка, меньшего k, можно указать
минор, по модулю равный единице.)
Следовательно, все и.м. для H также равны единице, кроме стар-
шего: µ
(H)
n
(λ) = (λ − λ
i
)
k
. А значит, (λ − λ
i
)
k
будет единственным
э.д. для H.
Реализация намеченного выше плана приводит нас к новой версии
теоремы Жордана [ср. с теоремой 27.2 (БТЖ)].
Теорема 30.6 (теорема Жордана). Квадратная матрица приво-
дима к ж.н.ф. тогда и только тогда, когда ее характеристический
многочлен разлагается на линейные множители; при этом каждому
э.д. (λ − λ
i
)
k
отвечает ж.я. J
k
(λ
i
) . ¤
Кратко опишем второй (напомним, что его иногда называют "ал-
гебраическим") алгоритм приведения матрицы к ж.н.ф.
А л г о р и т м 30. 2.
Приведение квадратной матрицы
к жордановой нормальной форме
Дана (n ×n)-матрица A с элементами из поля P. Требуется опре-
делить ж.н.ф. J для матрицы A (если она существует), а также вы-
числить матрицу перехода T, такую, что J = T
−1
AT.
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 383

  Для обоснования того факта, что матрица J служит ж.н.ф. для
A, досточно найти э.д. для J и убедиться в том, что они такие же,
как у данной матрицы.
  Делается это в два этапа.
  1. Сначала доказывается вспомогательный результат: список э.д.
для блочно-диагональной матрицы может быть получен объедине-
нием соответствующих списков для диагональных блоков.
  2. Затем, рассмотрев НОДМ’ы для характеристической матрицы
                                                              
                    λ − λi     −1
                            λ − λi   −1                       
                                     ..       ..              
       Eλ − H = 
                                        .       .             ,
                                                                   (30.62)
                                            λ − λi    −1      
                                                      λ − λi

отвечающей одному жорданову ящику H = Jk (λi ) , мы обнаружи-
ваем, что все они равны единице, кроме последнего, равного (λ−λi )k .
(Дело в том, что для любого порядка, меньшего k, можно указать
минор, по модулю равный единице.)
   Следовательно, все и.м. для H также равны единице, кроме стар-
                         k                     k
шего: µ(H)
        n (λ) = (λ − λi ) . А значит, (λ − λi ) будет единственным
э.д. для H.
   Реализация намеченного выше плана приводит нас к новой версии
теоремы Жордана [ср. с теоремой 27.2 (БТЖ)].

   Теорема 30.6 (теорема Жордана). Квадратная матрица приво-
дима к ж.н.ф. тогда и только тогда, когда ее характеристический
многочлен разлагается на линейные множители; при этом каждому
э.д. (λ − λi )k отвечает ж.я. Jk (λi ) . ¤

   Кратко опишем второй (напомним, что его иногда называют "ал-
гебраическим") алгоритм приведения матрицы к ж.н.ф.

А л г о р и т м 30. 2.
Приведение квадратной матрицы
к жордановой нормальной форме

  Дана (n × n)-матрица A с элементами из поля P. Требуется опре-
делить ж.н.ф. J для матрицы A (если она существует), а также вы-
числить матрицу перехода T, такую, что J = T −1 AT.

Страницы