Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 385 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 385

где
                      P = W −1 U ; Q = V Y −1 .           (30.64)
   И снова, для дальнейшего достаточно знать только матрицу Q, и
определить ее можно иначе, минуя формулы (30.64). С этой целью
надо взять матрицу V и применить к ней элементарные преобразова-
ния над столбцами, обратные к тем, что были зарегистрированы на
этапе 6, причем — в обратном порядке (противоположном порядку
регистрации).
   8. Полученную на предыдущем этапе полиномиальную матрицу
Q = Q(λ) представляем как многочлен с матричными коэффициен-
тами (разлагаем по степеням λ). Затем вычисляем правое значение
этого матричного многочлена на матрице J:
                                     →
                             T = Q( J ).                  (30.65)

  Матрица (30.65) будет искомой матрицей перехода.
  Выполнение соотношения J = T −1 AT подлежит проверке, кото-
рую проще осуществлять в форме T J = AT, но — с обязательным
контролем необращения в нуль det(T ).
  Пример 30.4. Второй алгоритм приведения квадратной матри-
цы к ж.н.ф. является заметно более трудоемким по сравнению с
первым. В основном это происходит за счет трудоемкости алго-
ритма Смита. Скажем, даже простейшие "гауссовы" действия при
получении нулевого окаймления требуют значительно больше уси-
лий, поскольку должны производиться над многочленами. Кроме
того, этим преобразованиям должны предшествовать "евклидовы"
действия: деление с остатком многочленов исходного окаймления на
угловой многочлен. Вручную вряд ли стоит браться за матрицы по-
рядка выше пятого. Однако, если разрешено выполнение упомяну-
тых рутинных операций с помощью компьютерных алгебраических
систем, то можно преуспеть в решении достаточно содержательных
примеров.
  Исследуем вопрос о приводимости к ж.н.ф. (6 × 6)-матрицы
                                                    
                   4       0    −1    0  0        −2
                 5        −1   −1    0  0        −2 
                                                    
                 3        0    2     0  0        −3 
              A=                                    .
                 −5       0     1    −1 0        2 
                                                    
                  −10      0     2    0 −1        4
                   5       0    −1    0  0        −3