Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 384 стр.

384     Спектральная теория линейных эндоморфизмов               Гл. 3

   1. Составляем характеристическую матрицу C(λ) = Eλ − A
и (с помощью алгоритма 30.1) приводим ее к канонической форме
Смита S = S(λ); при этом также вычисляются (путем попутного
преобразования единичных матриц U0 = V0 = En ) обратимые квад-
ратные матрицы U = U (λ) и V = V (λ), отвечающие за действия над
строками и столбцами соответственно и такие, что S = U CV. (Для
нужд настоящего алгоритма достаточно точно отслеживать преоб-
разования над столбцами, поскольку далее используется лишь мат-
рица V.)
   2. Считываем из матрицы S диагональные элементы — инвари-
антные многочлены: µ1 (λ), µ2 (λ), ... , µn (λ); каждый из них разлага-
ем на неприводимые множители. Если все они окажутся линейными,
т. е. будут иметь вид λ − λi , то ж.н.ф. существует.
   3. Определяем список характеристических корней (спектр) для
матрицы A, выявляя — по разложению старшего и.м. µn (λ) — все
встречающиеся в (этом и предыдущих) разложениях элементы λi
(i = 1, ... , s). Элементы спектра должны быть упорядочены (зануме-
рованы), произвольным (но неизменным в дальнейшем) образом.
   4. Выявляем — по разложениям всех и.м. — все элементарные
делители, т. е. примарные множители вида (λ − λi )k в разложени-
ях и.м., и образуем из них список δ(A), руководствуясь следующим
принципом: характеристические корни идут в том порядке, который
установлен на предыдущем этапе; отвечающие каждому из них э.д.
упорядочены по невозрастанию степеней.
   5. Составляем блочно-диагональную матрицу J, в которой каж-
дому э.д. (λ − λi )k из списка δ(A) соответствует ж.я. Jk (λi ) . Поря-
док размещения ящиков должен быть строго согласован с порядком,
в котором занумерованы э.д. Это и будет искомая ж.н.ф. для мат-
рицы A.
   6. Составляем характеристическую матрицу G(λ) = Eλ − J и
(точно так же, как это делалось на этапе 1) приводим ее к кано-
нической форме Смита, которая должна в точности совпасть с (по-
лученой на первом этапе) матрицей S. Попутно будут вычислены
обратимые матрицы W = W (λ) и Y = Y (λ), такие, что S = W GY.
(Для дальнейшего достаточно регистрировать лишь преобразования
над столбцами и предъявить в итоге матрицу Y.)
   7. Из соотношения U CV = W GY выражаем матрицу G:

                       G(λ) = P (λ)C(λ)Q(λ),                    (30.63)