Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 382 стр.

382    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

  То же самое можно сказать и об элементарных делителях (явля-
ющихся примарными множителями в разложениях инвариантных
многочленов): произведение их всех также равно hA (λ).
  С помощью несложного вычисления (см. любой из указанных в
начале параграфа учебников) проясняется смысл старшего инвари-
антного многочлена. Он совпадает с минимальным аннулирующим
многочленом (см. п. 29.2):
                          µ(A)
                           n (λ) = gA (λ).                   (30.60)
   (Это дает удобный способ вычисления м.а.м.: следует привести
к канонической форме Смита характеристическую матрицу и взять
последний из диагональных элементов.)
   Из теоремы 30.2, с учетом теоремы 30.4, получается следующий
критерий подобия квадратных матриц.

  Теорема 30.5. Две квадратных матрицы A, B ∈ L(n, P ) подоб-
ны тогда и только тогда, когда совпадают списки их инвариантных
многочленов (элементарных делителей):
       [A∼
         ◦ ◦ B ] ⇔ [ µ(A) = µ(B) ] ⇔ [ δ(A) = δ(B) ]. ¤      (30.61)


  [Ранее был получен и представлен в предложении 27.4 другой кри-
терий подобия матриц (в терминах итерированных дефектов).]
   30.6. Второй способ приведения квадратной матрицы к
ж.н.ф. Предположим теперь, что характеристический многочлен
hA (λ) разлагается на линейные множители. Тогда тем же свойством
будут обладать все и.м. [поскольку они делят hA (λ)].
   Элементарные делители в этом случае будут имет вид (λ−λi )k , где
λi (i = 1, ..., s) являются характеристическими корнями для матри-
цы A. Сумма всех показателей k (по всем э.д.) обязана равняться n.
Для фиксированного корня λi при переходе от какого-либо и.м. к
следующему значение показателя неубывает.
   Сконструируем блочно-диагональную (n × n)-матрицу J (с диаго-
нальными блоками — жордановыми ящиками) по следующему прин-
ципу:
   — каждому э.д. (λ − λi )k соответствуeт ж.я. Jk (λi ) ;
   — ящики, отвечающие одному и тому же характеристическому
корню, группируются (в порядке невозрастания размеров) в большие
блоки Ai .