Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 387 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 387

   В данном случае это выполнено автоматически, поскольку угло-
вой элемент равен единице. Так что, первый "большой" шаг можно
считать завершенным. (Первый инвариантный многочлен "отщеп-
лен" и оказался единичным.)
   1.2. Переходя ко второму диагональному элементу, мы можем
преждевременно обрадоваться: второе окаймление уже готово! Увы,
это не так. Не все элементы юго-восточного (4 × 4)-блока, дополни-
тельного к северо-западному диагональному (2 × 2)-блоку, делятся
без остатка на λ + 1: ненулевые элементы в третьей строке дают при
делении на λ + 1 остатки −18 и 9.
   Далее понадобятся не только остатки, но и неполные частные.
Поэтому должны быть выписаны все формулы типа:

               −λ2 + 6λ − 11 = (λ + 1)(−λ + 7) − 18.

   Из остатков следует выбрать минимальный по степени и приба-
вить соответствующую строку к рассматриваемой в текущий момент
(в данном случае — ко второй). У нас оба ненулевых остатка в тре-
тьей строке имеют нулевую степень.
   Портим окаймление: 2стр + 3стр , после чего снова попытаемся его
восстановить [уже с другим угловым элементом в позиции (2, 2)].
При этом, помимо "гауссовых", уже потребуются "евклидовы" дей-
ствия. А именно, появившиеся в третьем и шестом столбцах второй
строки многочлены −λ2 + 6λ − 11 и −2λ + 7 необходимо заменить на
остатки при их делении на λ + 1.
   Делается это по Гауссу, с использованием ранее найденных непол-
ных частных.
   Например: 3стб + 2стб · (λ − 7), второй столбец перед прибавле-
нием к третьему домножается на многочлен, противоположный к
соответствующему неполному частному.
   Не забудем про дублирование преобразований на следящих мат-
рицах U и V . Перед повторным обнулением второго окаймления
будем иметь:
                                                           
                   1    0           0     0     0      0
                0     λ+1         −18    0     0      9   
                                                          
                0      0      2
                             −λ +6λ−11    0     0    −2λ+7 
           C2 =                                           ;
                0      0          λ+1   λ+1    0      0   
                                                          
                   0    0      2λ+2       0    λ+1     0
                   0    0      −λ−1       0     0     λ+1